Несжимаемые жидкости

          Для плоских течений жидкостей их плотность можно считать постоянной вдоль всего объёма жидкости в течение всего времени движения. Такое движение называется движением несжимаемой жидкости.

          Общие уравнения гидродинамики для несжимаемой жидкости упрощаются. Уравнение неразрывности при  принимает простой вид

.

          уравнения Эйлера не меняют своего вида, запишем их в виде

.

          Для несжимаемой жидкости тепловая функция записывается следующим образом

.

          Тогда уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости имеет вид

.

Особенно упрощается уравнение для потенциального течения несжимаемой жидкости.

          При подстановке  в уравнение неразрывности , получим

,

то есть уравнение Лапласа для потенциала.

          Граничные условия. К этому уравнению должны быть добавлены граничные условия на поверхности соприкосновения жидкости с твёрдыми телами:

- на неподвижных твёрдых поверхностях нормальная к поверхности  компонента vn скорости жидкости должна быть равна нулю, для движущихся тел vn  должна быть равна проекции скорости движения тела на направление той же нормали.

          С другой стороны, скорость vn равна производной от потенциала по направлению нормали

.

          Таким образом, граничные условия гласят в общем случае, что является на границах заданной функцией координат и времени.

          При потенциальном движении скорость связана с давлением для несжимаемой жидкости соотношением

.

          Если движение жидкости является потенциальным и вызвано движением некоторого тела то уравнение Лапласа не содержит явно времени, время входит в решение через граничные условия.

Если U - скорость набегающего на тело потока жидкости (скорость на бесконечности), а p0 – давление на бесконечности, то давление в критической точке равно

.

          Если распределение скоростей в движущейся жидкости зависит только от двух координат, то о таком течении говорят как о двумерном или плоском. Для решения задач о двумерном течении несжимаемой жидкости иногда удобнее использовать функцию тока. Из уравнения неразрывности

          видно, что компоненты скорости могут быть записаны в виде производных

,    

          от некоторой функции , называемой функцией тока. Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется автоматически.

.

          Зная функцию тока, можно непосредственно определить форму линий тока для стационарного движения жидкости. Дифференциальное уравнение линий тока

          или

,

          оно выражает условие параллельности касательной к линии тока и направления вектора скорости.

          Подставляя сюда выражение для скоростей через функцию тока

,

откуда. Таким образом, линии тока представляют собой семейство кривых, получающихся приравниванием функции тока   постоянной.

          Если между точками 1 и 2 в плоскости x,y провести кривую, то поток жидкости Q через  эту кривую определится разностью значений функции тока в этих точках независимо от формы кривой.

          Действительно, если vn - проекция скорости на нормаль к кривой в данной точке, то

          или

.

          Мощные методы решения задач о простом потенциальном обтекании несжимаемой жидкостью различных профилей связаны с применением к ним теории функций комплексной переменной.