В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений. Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела. Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, x и y, также функциями этих двух координат являются проекции vx и vy скорости течения.
Пусть определена функция 
, которая удовлетворяет следующим условиям
,
.
Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.
Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:
или
.
Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции y, найдём
.
При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции y, напишем
.
Отсюда следует, что 
, таким образом, функция тока на линии тока сохраняет постоянное значение.
Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т.е. что во всех точках потока имеет место условие
.
В соответствии с принятыми предположениями в этом случае
,
,
где j - потенциал скорости.
Из условия 
имеем
.
Подставляя сюда выражение для функции тока, получим
.
Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности имеет вид
или через потенциал скорости
.
Дифференциальное уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа. Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например,j1, j,... или y1, y2,... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации
,
,
где A1, A2, ..., B1, B2, ... - постоянные.
Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное поток будет также потенциальным и его потенциал скорости, и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.
|
|
Если построить два семейства кривых: эквипотенциальные линии |
Рис. 57
(т.е. линии равного потенциала) и кривые 
- линии тока (здесь k и c - параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональную сетку плоского течения ( рис. 57 ). Это можно показать следующим образом. Вектор скорости v, совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол 
, тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен
.
Из уравнения же эквипотенциальной линии следует
и отсюда тангенс угла a2, который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен
.
Показать, что касательные векторы взаимно перпендикулярны, можно так
.
В результате перемножения получаем
.
Этому условию отвечают угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.
Функция тока y имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока y1 и y2 (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости xoy будем предполагать равным единице
,
где dS - элемент живого сечения струйки, v - скорость, n - единичный вектор по нормали к элементу dS , S1 и S2 - границы сечения.
Обозначим через a угол, образуемый вектором 
с осью ox, тогда 
и 
будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,
,
но 
, 
, поэтому
.
Таким образом, разность значений функции тока на двух каких ни будь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.
Из сопоставления
, 
следует
, 
.
Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация
функций j и y является функцией комплексного переменного z=x+iy, т.е.
.
Функция w называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.
Найдём производную от комплексного потенциала
,
причём
,
где h1 и h2 - бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе
.
Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует
- это выражение называется комплексной скоростью.
Модуль комплексной скорости даёт величину скорости
,
|
Рис. 58 |
Введем кроме комплексной скорости ( рис. 58 )
сопряжённую скорость
|
.
,
.Тогда
,
.
Рассмотрим
.
Тогда
- циркуляция,
- расход.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему