Тензорная запись уравнений Эйлера. Тензор плотности потока импульса

Определим скорость изменения импульса единицы объема жидкости . Воспользуемся тензорными обозначениями

 .

Из уравнения неразрывности имеем

.

Воспользуемся уравнениями Эйлера, записанными в тензорной форме

.

Таким образом получаем

.

Член с давлением запишем в виде

.

Уравнения количества движения принимают вид

 ,

где тензор    определяется как .

Выясним физический смысл тензора . Проинтегрируем уравнение количества движения по некоторому объему

.

Преобразуем интеграл в правой части в интеграл по поверхности

.

Слева стоит изменение в единицу времени i - той компоненты импульса в рассматриваемом объеме. Поэтому интеграл по поверхности в правой части есть количество импульса, вытекающего в единицу времени через ограничивающую объем поверхность.

Следовательно,  есть i - тая компонента импульса, протекающая через элемент   поверхности.

Тензор  называют тензором плотности потока импульса.