Неустановившееся движение жидкости в жестких трубах

Как отмечалось ранее, неустановившимся (нестационарным) движением жидкости называется движение, переменное во времени. При таком движении и вектор скоости, и давление являются функциями не только координат точки, но и времени, то есть .

Выделим в потоке идеальной несжимаемой жидкости элемент струйки длиной dl и площадью сечения dS (Рис. 42). Запишем для этого элемента струйки уравнение второго закона Ньютона в проекции на направление касательной к осевой линии струйки.

Рис. 42. Схема для вывода уравнения неустановившегося течения

или

.

В выражении использована частная производная от давления p потому, что оно, как и скорость V, является функцией двух переменных – l и t, а уравнение записано для определенного момента времени. В правой части уравнения записана полная производная от скорости по времени, то есть ускорение, которое равно сумме локального (местного) ускорения, обусловленного нестационарностью движения, и конвективного ускорения, определяемого геометрией потока, то есть

.

Учитывая, что cos a = – дz/дl, где z – вертикальная координата, перепишем уравнение движения в виде

.

Интегрируя вдоль струйки от сечения 1 – 1 до сечения 2 – 2 в тот же фиксированный момент времени, получаем

,

или

.

Разделим уравнение на g и перегруппируем члены:

.

Полученное уравнение отличается от уравнения Бернулли только последним слагаемым в правой части, которое называется инерционным напором:

.

Из уравнения ясен смысл инерционного напора – это разность полных напоров в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 в данный фиксированный момент времени, обусловленная ускорением или торможением потока жидкости.

Для неустановившегося потока реальной жидкости необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению потока и потери напора. Следовательно, уравнение примет вид:

.

Для трубы постоянного диаметра локальное ускорение  также постоянно вдоль трубы, поэтому инерционный напор

.

Если трубопровод состоит из нескольких участков с сечениями разных площадей S1, S2 и т.д. (или трубопровод присоединен к цилиндру, в котором ускоренно движется поршень), то инерционный напор для всего трубопровода определяется как сумма инерционных напоров всех отдельных участков. При этом ускорения на отдельных участках определяются из уравнения, полученного дифференцированием уравнения расхода по времени:

В уравнение неустановившегося движения жидкости в этом случае надо подставить

Инерционный напор записывается в правую часть уравнения, причем его знак совпадает со знаком ускорения a. То есть при положительном ускорении инерционный напор положителен и уменьшает полный напор подобно потерям напора на местных и линейных сопротивлениях. Но инерционный напор нельзя рассматривать как безвозвратные потери, так как при торможении потока он меняет знак и увеличивает полный напор вдоль потока, то есть его действие противоположно действию гидравлических сопротивлений. Полученное уравнение относится лишь к определенному моменту времени или к равноускоренному движению жидкости. Если же ускорение непрерывно изменяется, то и инерционный напор будет непрерывно изменяться, изменяя во времени распределение напоров вдоль потока.

В качестве примера на Рис. 43 показана труба постоянного сечения, соединяющая два резервуара. В трубе возвратно-поступательно движется поршень. На Рис. 43а поршень движется справа налево со скоростью V и ускорением a. С таким же ускорением движется и жидкость в трубе. Для каждого участка трубы – всасывающего (до поршня) и напорного (за поршнем) – показаны линии изменения полного напора H – H,  пьезометрических напоров p – p, а также потерь напора Shп и инерционного напора hин в некоторый фиксированный момент времени.

Из рисунка видно, что инерционный напор способствует снижению давления и даже приводит к возникновению разрежения за поршнем и вызывает более значительное повышение давления перед поршнем по сравнению с установившимся движением.

На Рис. 43б показаны те же линии, но в момент, когда поршень движется с той же скоростью в том же направлении, но с отрицательным ускорением, то есть тормозится. В этом случае инерционный напор изменяет свой знак, компенсирует гидравлические потери, и гидравлический уклон также меняет свой знак на обратный.

Гидравлические потери при неустановившемся движении в общем случае отличны от потерь при установившемся движении. Это связано с изменением профиля скоростей по сечению трубы. Так при ускоренном движении профиль становится более полным (Рис.44), и коэффициент Кориолиса a уменьшается, а при замедленном – более вытянутым, и a растет. На Рис. 44  показано  изменение распределения скоростей по  сечению потока при ускоренном ламинарном движении жидкости при трех  значениях  расхода  ( Рис.  44а – при  равномерном  движении,  б – при ускорен-

а

б

Рис. 43. Построение пьезометрических линий и линий полного напора

ном). Как видно из рисунка, в некоторых случаях в пристенном слое потока могут возникать даже противотоки.

В случае ламинарного течения с гармоническим изменением расхода по времени в закон Пуазейля, отражающий потери на трение по длине , надо ввести поправочный коэффициент k, который является функцией круговой частоты , где w – угловая частота колебаний жидкости с вязкостью n в трубе диаметром d.

Рис. 44. Изменение профиля эпюры скоростей

 при ускоренном ламинарном течении

Поправочный коэффициент находится по формуле:

.

При увеличении частоты возрастание гидравлических потерь может быть весьма существенным, причем различие между гидравлическими потерями при ламинарном и турбулентном режимах течения уменьшается.