Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Рис. 4. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия жидкости.

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы (сила инерции переносного движения). В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку M с координатами x, y и z и давлением p. Система координат жестко связана с сосудом, содержащим жидкость.

 Выделим в жидкости элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат и равными dx, dy, dz. Точка M – одна из вершин параллелепипеда (Рис. 3). Рассмотрим условия равновесия этого объема. Пусть внутри его на жидкость действует равнодействующая единичная массовая сила, составляющие которой X, Y, Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу объема жидкости.

Разделим уравнения на массу выделенного объема и перейдем к пределу, устремив dx, dy и dz  к 0. Тогда в пределе получим условия равновесия жидкости в точке M (уравнения Эйлера):

На практике вместо системы уравнений удобнее одно эквивалентное уравнение, не содержащее частных производных. Домножим уравнения Эйлера соответственно на dx, dy и dz и сложим их.

Последнее уравнение выражает изменение давления при изменении координат точки.

Рассмотрим частный случай. Пусть из массовых сил действует только сила тяжести. Тогда X = Y = 0, а Z = – g. Тогда полученное уравнение примет вид:

Проинтегрируем уравнение

Константу интегрирования найдем из граничного условия на свободной поверхности:

Тогда

Мы получили основное уравнение гидростатики.