Теорема Гаусса-Остроградского

Найдем поток вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом q, через сферическую поверхность радиуса r.

 Площадь ее поверхности. Силовые линии электрического поля, (см. рис. 2), идут по радиусам к поверхности сферы и поэтому угол между векторами  и равен нулю.

  .      (4)

Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения зарядов в ней.

Рассмотрим поток, создаваемый системой зарядов, сквозь замкнутую поверхность произвольной формы, внутри которой они находятся (рис.3):                .

Согласно принципу суперпозиции   поэтому

таким образом            .                                   (5)

Итак, мы доказали теорему Гаусса — Остроградского:

«полный поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на ».

Теорему Гаусса — Остроградского, (5), можно записать в дифференциальной форме:

                               ,                                           (6)

где  - объемная плотность заряда.

, знак  - оператор набла.

Из теоремы Гаусса — Остроградского вытекают следствия: 1) линии вектора  (силовые линии) нигде, кроме зарядов, не начинаются и не заканчиваются: они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность для положительного заряда, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде (картина силовых линий приводится на рис. 4); 2) если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток через эту поверхность равен нулю; 3) если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то число входящих линий вектора напряженности равно числу выходящих и поэтому полный поток через такую поверхность равен нулю.

Теорема Гаусса позволяет рассчитать электрические поля, создаваемые заряженными телами различной формы:

2.2.1. Поле равномерно заряженной, бесконечно протяженной плоскости (рис. 5).

Построим цилиндр, ось которого перпендикулярна к поверхности, и применим теорему Гаусса-Остроградского

               ,

                     т.к. ,

то        

                 отсюда  ,            (7)

где s = q/S  поверхностная плотность заряда, измеряемая в СИ в Кл/м2.

2.2.2. Поле между двумя бесконечно протяженными, разноименно заряженными параллельными плоскостями, (см. рис. 6). Вне внутреннего промежутка,  = 0 т. к. поля, созданные разноименно заряженными параллельными пластинами, направлены противоположно друг другу; между плоскостями             .

Итак:                          .                         (8)

По этой же формуле определяется напряженность электрического поля вблизи заряженного проводника.

2.2.3. Поле заряженного цилиндра: заряженный цилиндр радиуса R, (см. рис. 7), окружим коаксиальной  цилиндрической поверхностью радиуса r; поток вектора  через основания равен нулю, т. к. , где – внешняя нормаль к основаниям цилиндра; поток через боковую поверхность , здесь h – высота цилиндра. Согласно теореме Гаусса – Остроградского, при         

                ,                        (9)

где t = q/ h — линейная (погонная) плотность заряда, которая измеряется в Кл/м. Когда r < R, то = 0.

2.2.4 Поле заряженной сферы: поток вектора  через поверхность сферы радиуса r,

 (см. рис. 8, вверху), которая окружает заряженную сферу, имеющую радиус R ,при  r  R . По теореме Гаусса – Остроградского

                    oткуда                          (10)

при r < R  имем  = 0. Это свойство используют для экранировки от полей внешних зарядов; график Е = f(r) для случая заряженной сферы приведен на рис. 8, внизу.