Понятие о квантовой теории теплоёмкости Эйнштейна и Дебая

Эйнштейн рассматривал кристалл как систему из N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором (осциллятор - это физическая система, совершающая колебания). Колебания всех атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой n. Средняя энергия áЕñ, приходящая на одну степень свободы атома - гармонического квантового осциллятора:  

   .                                                                                      (5)

Внутренняя энергия моля твёрдого тела U = 3NAáEñ = ,

отсюда молярная теплоёмкость твёрдого тела

.                                                  (6)

Этот результат качественно описывает зависимость С от Т, однако в области низких температур возникают расхождения с экспериментально полученными зависимостями С от Т.

Дебай развил теорию Эйнштейна. Он учёл, что:

1) колебания атомов в кристаллической решётке не являются независимыми и

2) основной вклад в энергию тепловых колебаний кристалла при низких температурах вносят колебания низких частот.

Таким образом, тепловое возбуждение твёрдого тела Дебай описал в виде упругих (звуковых) волн, распространяющихся в кристалле. Упругие волны в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция - квант энергии волны с данной частотой n. Упругим волнам в кристалле сопоставляют фононы, обладающие энергией Е = hn. Фонон есть квант энергии звуковой (упругой) волны. Фононы являются квазичастицами, ведущими себя подобно микрочастицам. Заметим, что квазичастицы, в частности, фононы, не могут возникать и распространяться в вакууме, они существуют только в среде. Таким образом, квантование упругих волн привело к представлениям о фононах подобно тому, как ранее квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах.

Как указывалось в предыдущей лекции, фононы относятся к классу бозонов. Система бозонов описывается распределением Бозе-Эйнштейна (7.5). Для фононов m = 0 и ánñ = , поэтому эта функция входила в формулы (5) и (6) данной лекции, с учётом того, что Е = hn.

Обозначим через dn число фононов с частотой в интервале от n до n+dn, тогда внутренняя энергия кристалла (вывод опускается)

,                                                      (7)

где nмакс =  - максимальная частота фононов, N - число атомов в кристалле с объёмом V, v - скорость звука в кристалле, h, k - постоянные Планка и Больцмана.

При вычислении U вводится характеристическая температура Дебая ТD = hnмакс/k и рассматриваются 2 предельных случая:

1.Высокие температуры Т>>TD (или kT>>hnмакс). При этом  и. Для одного моля N = NA      и  молярная

теплоёмкость С = dU/dT = 3NAk = 3R, т. е. соответствует закону Дюлонга и Пти.

2.Низкие температуры T<<TD . В этом случае при вычислении интеграла вводится новая переменная х = hn/(kT) и верхний предел заменяется на ¥:

 .                                (8)

         При выводе этой формулы было учтено, что интеграл равен . Молярная теплоёмкость

С = dU/dT = ,                                                                               (9)

т. е. пропорциональна , что подтверждается на опыте. Таким образом, квантовая теория теплоёмкости Эйнштейна и Дебая объяснила теплоёмкость твёрдых тел.