Движение частиц в потенциальной яме (через потенциальный барьер).

Одномерная прямоугольная «потенциальная яма» с бесконечно высокими «стенками» описывается потенциальной энергией вида

где l – ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 63).

Пси-функция частицы зависит только от координаты х, поэтому стационарное уравнение Шредингера имеет вид               (105)

Частица за пределы «ямы» не проникает, т. е. в областях х<0 и х>1 ψ(х) = 0, а из условия непрерывности следует, что и на границах «ямы»                                           .                                            (106)

В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ l) уравнение Шредингера (105) сведется к уравнению        или   ,   (107)

где   (108). Общее решение уравнения (106):      ψ(x)=Asinkx + Bcoskx.

Так как, по (106), ,   то В=0. Тогда   ψ(x)=Asinkx.   (109)

Условию ψ(l) = Asinkl = 0 удовлетворяет равенство

                                                 k = πп/l   (n = 1, 2, 3, ...)                         (110)

.

Из выражений (108) и (110) получим, что собственные значения энергии частицы            (n = 1, 2, 3, ...),                         (111)

т. е. спектр энергии частицы является дискретным (или квантованным). Квантованные значения Еn называют уровнями энергии, а число п, их определяющее, – квантовым числом.

Собственные функции задачи получаются подстановкой (110) в (109):                                      ,

а коэффициент А находится из условия нормировки

                                             ,

откуда . Тогда нормированные собственные функции

                                             (n = 1, 2, 3, ...).          (112)

Из формулы (111) следует, что существует минимальная, не равная нулю энергия                            ,

соответствующая основному состоянию частицы. Волновая функция основного состояния               .

Наличие отличной от нуля минимальной энергии противоречит классической механике и не противоречит соотношению неопределенностей. В самом деле, частица «зажата» в области, на границах которой , поэтому ее положение известно с неопределенностью . Тогда, согласно соотношению неопределенностей , неопределенность импульса . Таким образом, энергия никогда не может быть равна нулю, поскольку это потребовало бы выполнения условия . Состояние с энергией Е1 называют основным состоянием, а остальные состояния – возбужденными. Энергии возбужденных состояний равны 4Е1, 9Е1, 16Е1,..., соответственно значениям квантового числа n = 2, 3, 4…