Нужна помощь в написании работы?

Э. Шредингер (1926) постулировал фундаментальное соотношение – основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, справедливость которого (как и всяких постулатов) подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов. Уравнение Шредингера – нерелятивистское уравнение относительно основной характеристики состояния микрообъектов – волновой функции ψ(r,t) – и имеет вид

                                     ,    (79)

где ħ = h/(2π), m – масса частицы, Δ – оператор Лапласа , i – мнимая единица, U (r,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица движется. Это уравнение называют временным уравнением Шредингера. Если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U (r) не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии, то решение уравнения (79) можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени:                     ψ(r,t) = ψ(r)·φ(t)                       (80)

Подставив функцию (80) в уравнение Шредингера (79) и разделив левую и правую части на произведение ψ(r)·φ(t), получим

                      (81)

Так как левая часть уравнения (81) зависит только от r, а правая – только от t, то их можно приравнять одной и той же постоянной разделения, в качестве которой, как можно показать, можно выбрать Е – полную энергию частицы. Таким образом,

                                                                (82)

                                                                                           (83)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Уравнение (82) называют стационарным уравнением Шредингера. Его обычно записывают в более удобном виде:

                                                                            (84)

Явный вид стационарного уравнения Шредингера определяется конкретной зависимостью U (r).

Решая уравнение (83), получаем, что         ,        (85)

где С – произвольная постоянная. Подставляя (85) в (80), видим, что в случае стационарного силового поля состояние частицы описывается волновой функцией                   

, откуда следует, что стационарность состояния не исключает зависимости волновой функции от времени, а только ограничивает ее гармоническим законом . В стационарном состоянии плотность вероятности      выражается только через ψ(r) и не зависит от времени. Общепринято ψ(r) также называть волновой функцией, хотя она является только координатной (амплитудной) частью волновой функции ψ(r,t) стационарного состояния. Временное уравнение Шредингера имеет вид

                                     ,                          (102)

где ψ = ψ(x,y,z,t). С учетом того, что гамильтониан , уравнение (102) примет вид   (103)

уравнение Шредингера в операторной формеПодставив в стационарное уравнение Шредингера    

оператор полной энергии      ,

получим стационарное уравнение Шредингера в операторной форме:                                                                                                  (104)

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями