Тема урока: Классическое определение вероятности.
Цель урока:
1) закрепить знание формулы;
2) способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний при решении задач, внимания;
3) воспитать усидчивость, терпение.
Оборудование: доска, мел, набор задач.
Структура урока.
1. Организационный момент.
2. Сообщение темы и цели занятия.
3. Изучение нового материала.
Учитель. Изучение понятия вероятности события обычно начинается с самого простого частного случая, — так называемого классического определения. Оно опирается на понятие равновероятности событий.
Начнем с примеров. В опыте с броском монеты события Г=«выпал герб» и Ц = «выпала цифра» очевидно равновероятны. Это утверждение основано на том, что монета симметрична и однородна. В опыте с броском игральной кости события Q1, Q2, ..., Q6 тоже, очевидно, равновероятны. Это следует из однородности материала кости и ее симметричной формы. Таким образом, равновероятность событий обычно устанавливается исходя из того, что условия опыта симметричны относительно рассматриваемых событий. При этом симметрия понимается в широком смысле этого слова и геометрическая симметрия, и физическая симметрия (например, однородность материала, из которого изготовлена игральная кость или монета) и так далее. То есть для того чтобы можно было начать, решение задачи средствами теории вероятностей, необходимо, чтобы вероятности некоторых событий в задаче уже были указаны. Откуда же эти вероятности берутся?" Их дают те конкретные науки, в рамках которых возникла решаемая вероятностная задача. При этом зачастую основную роль играют соображения не математические, а той науки, в рамках которой возникла задача. Понятие равновероятности событий — это есть одна из форм указания начальных вероятностей.
Теперь можно дать классическое определение вероятности случайного события.
Определение. Пусть множество исходов опыта состоит из n равновероятных исходов. Если m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число p(A)=
4. Решение задач.
Задание 1. Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число очков?
Решение. В опыте «бросок игральной кости» мы имеем 6 равновероятных исходов: события Q1 , Q2, ..., Q6. Нас интересует вероятность события Qч. Этому событию благоприятствуют три исхода опыта: события Q2, Q4 и Q6. Следовательно n = 6, т = 3, а искомая вероятность
Задание 2. Бросали две монета. Какова вероятность того, что на каждой монете выпал герб?
Решение. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из трех событий (здесь опыт — фосок двух монет): «на обеих монетах выпал герб» = Г, «на обеих монетах выпала цифра» = Ц и «на одной монете выпал герб, а на другой монете выпала цифра» = А. Но интуитивно ясно, что это не равновероятные события — событие А имеет больше шансов появиться. Чтобы получать равновероятные исходы, внесем в этот опыт некоторое дополнение, которое не изменит вероятностной структуры задачи. Именно, возьмем одну монету медную, а другую серебряную. Это добавление позволит выделить равновероятные исходы испытания. Ими будут события Г, Ц, А1 = «на серебряной монете выпал герб, на медной монете выпала цифра» и А2 = «на серебряной монете выпала цифра, на медной монете выпал герб». Эти четыре события уже равновероятны, поскольку условия опыта относительно них симметричны. Они также образуют множество исходов рассматриваемого опыта. Теперь все подготовлено для того, чтобы можно было обратиться к теории вероятностен {до сих пор мы пользовались условиями задачи для выяснения некоторых основных, исходных вероятностей: в нашем случае это сводилось к выявлению равновероятных исходов испытания). Равновероятных исходов испытания 4, т. е. п= 4. Нас интересует вероятность события Г. Ему благоприятствует только один исход, т. е. т =1. Следовательно, искомая вероятность
Задание 3. Из семи одинаковых билетов один выигрышный. Семь человек по очереди и наугад берут (и не возвращают обратно) по одному билету. Зависит ли вероятность взять выигрышный билет от номера в очереди?
Решение. Опишем математическую модель этого примера. Перенумеруем все билеты, начиная с выигрышного. В результате опыта билеты оказываются распределенными между людьми, которые занимали определенные места в очереди. Этим упорядочивается множество из семи билетов: на первом месте оказывается билет, взятый человеком, стоявшим в очереди первым; на втором месте оказывается билет, взятый человеком, стоявшим в очереди вторым, и т. д. Таким образом, исходом опыта является получение некоторой перестановки из 7 билетов, их число n=7!. Поскольку билеты берутся наугад, то все эти. исходы равновероятны. Нас интересует вероятность события А= «человек, стоявший в очереди на k-м месте, взял выигрышный билет». Этому событию благоприятствуют исходы, при которых получаются перестановки, имеющие на k-м месте выигрышный билет, а остальные 6 мест заняты произвольной перестановкой из оставшихся шести невыигрышных билетов, их число т= 6! Следовательно,
Видим, что вероятность взять выигрышный билет не зависит от номера очереди.
Задание 4. На пяти одинаковых на ощупь карточках написаны буквы: на двух карточках—буква Л и на трех карточках— буква И. .Выкладываем наугад эти карточки подряд. Какова вероятность того, что выложится слово ЛИЛИИ?
Решение. Опыт в этой задаче состоит в получении наугад некоторого «слова» из имеющихся пяти букв. Нас интересует вероятность события С = «получено слово ЛИЛИИ». Для выявления равновероятных исходов перенумеруем буквы так: Л1, Л2, И1, И2, И3. Теперь в результате опыта мы будем получать слово из нумерованных букв. События «получено слово Л1И1Л2И2И3» и «получено слово Л2И1Л1И3И2» разные, хотя и в том и в другом случае получено слово ЛИЛИИ, т. е. произошло интересующее нас событие С. Выписанные события благоприятствуют событию С. Ясно, что события, выписанные выше, и все возможные аналогичные есть равновероятные исходы нашего опыта. Число их равно числу перестановок в множестве из пяти элементов, т. е. п= 5!=120. Подсчитаем при помощи принципа произведения число исходов, благоприятствующих событию С.
Рассмотрим множество В= {(Л1Л2); (Л2Л1)}, состоящее из двух возможных перестановок нумерованных букв Л, и множество А, состоящее из шести перестановок нумерованных букв И1И2И3. Каждый исход, благоприятствующий событию С, можно получить так: берем элемент множества В и ставим буквы Л (сохраняя их порядок) на первое и третье места в слове. Оставшиеся места занимаем каким-нибудь элементом множества А (не изменяя порядка нумерованных букв И). Таким образом, каждый исход получается как пара: элемент из В и элемент из А. В силу принципа произведения число таких исходов т = 2 • 6 =12. Вероятность же интересующего нас события 
5. Итоги урока. Вопросы для повторения:
1) Что такое вероятность, частота события?
2) Сформулируйте классическое определение вероятности?
6. Постановка домашнего задания.
Задание 1. Бросили две игральные кости и сосчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 8?
Решение. В этой задаче опыт состоит в том, что бросают две игральные кости и берут сумму выпавших очков. Исходы этого опыта таковы: «в сумме выпало 2», «в сумме выпало 3» и т. д., «в сумме выпало 12». Но это не равновероятные исходы. Действительно, в сумме может получиться 2 только одним способом: 2 = 1 + 1, а в сумме может получиться 4 двумя способами: 4 = 1 + 3 и 4 = 2 + 2, т. е. шансов на то, что в сумме получится 4, больше. Теперь попробуем уточнить выбор исходов опыта и рассмотрим такие события: «на одной кости выпало k очков, а на другой — р»: k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и р = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Но это тоже не равновероятные исходы опыта: интуиция подсказывает, что выпадение одинакового числа очков менее вероятно, чем разного. Чтобы получить равновероятные исходы, внесем в эту задачу некоторый дополнительный элемент, который не меняет вероятностную сторону задачи. Именно, окрасим кости в разные цвета— красный и синий. Но этот элемент позволит нам, наконец, выявить равновероятные исходы рассматриваемого опыта. Это будут следующие события: «на красной кости выпало k очков, а на синей — р очков» = (k; p). Поскольку кости отличаются только цветом, то ясно, что указанные события равновероятны и, кроме того, они образуют множество исходов нашего опыта. Остается подсчитать число всех исходов. Их 36, поскольку каждое из 6 очков, которые могут выпасть на красной кости; может быть в паре с любым из 6 очков, которые могут выпасть на синей. Теперь подсчитаем число исходов, благоприятствующих рассматриваемым событиям. Событию «сумма выпавших очков равна семи» = А благоприятствуют следующие 6 исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2) и (6; 1). Следовательно,
Событию «сумма выпавших очков равна 8» = В благоприятствуют следующие 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Следовательно,
Мы видим, что сумма очков 7 есть более вероятное событие, чем сумма очков 8.
Интересно отметить, что этот факт был замечен игроками в кости. Попытки его объяснить (и решение ряда задач по страхованию и т. п.) привели к созданию математической теории — начал теории вероятностей.
Задание 2. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? (Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» будет выяснен в процессе решения.)
Решение. В этой задаче рассматривается следующий опыт: из ящика наугад вынимают шар и смотрят его цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч= «вынутый шар черный» и Б = «вынутый шар белый». Но эти исходы неравновероятны, так как белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше. Для выявления в этом опыте множества равновероятных исходов внесем в опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, а именно, перенумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а черным — номера с 13 по 20. События «вынут шар с номером k»=АK уже равновероятны, так как шары на ощупь неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно, п = 20, а интересующему нас событию В благоприятствуют первые 12 исходов, т. е. т =12. Следовательно,
Точный смысл выражения «наугад вынимается шар» состоит в том, что введенные события Ak равновероятны.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему