Нужна помощь в написании работы?

Рассмотрим один из методов, позволяющих проанализировать и обработать данные, полученные в результате эксперимента (таблица 10.1). Пусть в результате измерений получена таблица зависимости одной величины http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image001.gif от другой http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image002.gif

Необходимо найти формулу http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image015.gif, выражающую таблично заданную зависимость аналитически. Применение интерполяции в данном случае нецелесообразно, т.к. значения http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image016.gif в узлах получены экспериментально и поэтому являются сомнительными (в ходе эксперимента возникает неустранимая погрешность, обусловленная неточностью измерений). Кроме того, совпадение значений в узлах не означает совпадения характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Поэтому необходимо найти такой метод подбора эмпирической формулы, который не только позволяет  найти саму формулу, но и оценить погрешность подгонки.

     Постановка задачи. Найдем функцию заданного вида

     http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image017.gif                                                 (10.1)

которая в точках http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image018.gif принимает значения как можно более близкие к табличным значениям http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image019.gif Практически вид приближающей функции можно определить визуально: по таблице 10.1 строится точечный график функции, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рис.10.1).

               http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image020.gif               

                                    Рис.10.1                                   

По полученной кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая, гипербола, дробнорациональная и т.д.).

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Заметим, что формула (10.1), называемая эмпирической формулой или уравнением регрессии http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image001.gif на http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image021.gif , позволяет находить значения функции http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image022.gif для нетабличных значений http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image021.gif , «сглаживая» результаты измерений величины http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image001.gif .

Из рисунка 10.1 видно, что для каждого значения http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image023.gif  экспериментальное http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image016.gif и расчетное http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image024.gif значения различаются на некоторую величину http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image025.gif , называемую абсолютной разностью. Потребовав, чтобы сумма квадратов абсолютных разностей для всех точек была минимальной, найдем оптимальные параметры функции http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image022.gif : если выполняется условие

     http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image026.gif                          (10.2)

где http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image027.gif, то считается, что функция http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image022.gif подобрана наилучшим образом.

Рассмотрим все изложенное выше на примере линейной регрессии.

     10.2 Линейная регрессия

Будем искать приближающую функцию в виде:

          http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image028.gif          

Абсолютная разность http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image029.gif для  http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image023.gif определяется следующим образом:

     http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image030.gifhttp://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image031.gif

формулу (10.2) перепишем в виде:

          http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image032.gif          

Рассматриваемая сумма является функцией с двумя параметрами http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image033.gif 

Задача сводится к отысканию минимума этой функции. Используем необходимое условие экстремума:

          http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image034.gif          

т.е.               http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image035.gif

                                                                          (10.3)

     http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image036.gif

Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными относительно параметров http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image037.gif и http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image038.gif, получим

конкретный вид искомой функции http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image039.gif 

Опуская математические выкладки, запишем выражения для искомых параметров:

          http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image040.gif          

                                                                          (10.4)

          http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image041.gif          

Рассчитав значение http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image042.gif, получим величину среднеквадратичной ошибки рассматриваемого приближения.

     Замечание: найденные значения http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image037.gif  и http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image038.gif определяют точку

экстремума http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image043.gif.

Используя неравенство Коши-Буняковского можно доказать, что в этой точке функция принимает минимальное значение (см. ).

Как видно из рассмотренного примера, изменение количества параметров не приведет к искажению сущности самого подхода, изменится лишь количество уравнений в системе (10.3) (для http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image044.gif  параметров соответственно будет записано http://works.tarefer.ru/50/100013/pics/image044.gif  уравнений).

Поделись с друзьями