Нужна помощь в написании работы?

Числовые характеристики случайных величин

1 .   Математическое ожидание (среднее значение)

Определение:
Математическим ожиданием называется
- для дискретной случайной величины:http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.5.gif     (6.4)

Тест на внимательность Только 5% пользователей набирают 100 баллов. Сколько баллов наберешь ты?

Узнать

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

- для непрерывной случайной величины:http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.6.gif;    (6.5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)


Свойства математического ожидания:

a .   Если С - постоянная величина, то МС = С
b .   МСх = СМх
c .   Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy
d .   Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.7.gif или http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.8.gif;    (6.6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.9.gif;    (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать "в лоб"

xi

           1    2     3  ... k..  

 

p(xi) : 

      http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.10a.gif

http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.10.gif ,

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½;   Мx / Н1 = 1;
Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем
Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

e .   Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

- для дискретной случайной величины: http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.11.gif;    (6.8)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для непрерывной случайной величины:http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.12.gif;    (6.9)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

  2 .   Дисперсия случайной величины
Определение:
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания:   Dx = M(x-Mx)2

- для дискретной случайной величины: http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.13.gif;    (6.10)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

- для непрерывной случайной величины: http://lopatin.at.ua/Probability/formula/6.14.gif;    (6.11)

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства дисперсии:
a .   Если С - постоянная величина, то DС = 0
b .   DСх = С2Dх
c .   Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)
d .   Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

  Dx = Mx2 - (Mx)2      (6.12)

Поделись с друзьями