Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

1 .   Математическое ожидание (среднее значение)

Определение:
Математическим ожиданием называется
- для дискретной случайной величины:     (6.4)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

- для непрерывной случайной величины:;    (6.5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

Свойства математического ожидания:

a .   Если С - постоянная величина, то МС = С
b .   МСх = СМх
c .   Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy
d .   Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как  или ;    (6.6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: ;    (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать "в лоб"

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½;   Мx / Н1 = 1;
Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем
Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

e .   Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

- для дискретной случайной величины: ;    (6.8)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для непрерывной случайной величины:;    (6.9)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.

  2 .   Дисперсия случайной величины
Определение:
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания:   Dx = M(x-Mx)2

- для дискретной случайной величины: ;    (6.10)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

- для непрерывной случайной величины: ;    (6.11)

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства дисперсии:
a .   Если С - постоянная величина, то DС = 0
b .   DСх = С2Dх
c .   Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин)
d .   Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:

  Dx = Mx2 - (Mx)2      (6.12)