Парная регрессия. - Шпоры по курсу Анализ данных

Парная регрессия (bivariate regression)— это метод установления математической (в форме уравнения) зависимости между одной метрической зависимой (критериальной) переменной и одной метрической независимой переменной (предиктором). Во многом этот анализ аналогичен определению простой корреляции между двумя переменными. Однако, для того чтобы вывести уравнение, мы должны одну переменную представить как зависимую, а другую — как независимую.

Метод установления математической (в форме уравнения) зависимости между двумя метрическими переменными — зависимой и независимой.

Можно ли вариацию в объеме продаж объяснить расходами на рекламу?

Какова форма этой зависимости и можно ли ее выразить в виде уравнения, описывающего прямую линию?

Зависит ли вариация доли рынка от численности торгового персонала?

Определяется ли отношение потребителей к качеству товара их отношением к цене на этот товар?

Прежде чем обсудить процедуру выполнения двумерной регрессии, определим основные статистики.

Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – и , где зависимая переменная (результативный признак);   – независимая, или объясняющая, переменная (признак-фактор). Между переменными   и   нет строгой функциональной зависимости, поэтому практически в каждом отдельном случае величина   складывается из двух слагаемых:
где   – фактическое значение результативного признака; – теоретическое значение результативного признака, найденное исходя из уравнения регрессии;   – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.
Случайная величина   называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.
От правильно выбранной спецификации модели зависит величина случайных ошибок: они тем меньше, чем в большей мере теоретические значения результативного признака  , подходят к фактическим данным  .
К ошибкам спецификации относятся неправильный выбор той или иной математической функции для   и недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора, т. е. использование парной регрессии вместо множественной.
Наряду с ошибками спецификации могут иметь место ошибки выборки, которые имеют место в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности, что, как правило, бывает при изучении экономических процессов.
Наибольшую опасность в практическом использовании методов регрессии представляют ошибки измерения. Если ошибки спецификации можно уменьшить, изменяя форму модели (вид математической формулы), а ошибки выборки – увеличивая объем исходных данных, то ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связи между признаками.
Предполагая, что ошибки измерения сведены к минимуму, основное внимание в эконометрических исследованиях уделяется ошибкам спецификации модели.В парной регрессии выбор вида математической функции   может быть осуществлен тремя методами: графическим; аналитическим, т.е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи; экспериментальным.
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции. Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей, представлены на :
Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными.
При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии обычно осуществляется экспериментальным методом, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии  , рассчитанной при разных моделях.
Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при функциональной связи, когда все точки лежат на линии регрессии  , то фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими  , т.е. они полностью обусловлены влиянием фактора  . В этом случае остаточная дисперсия  .
В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих, не учитываемых в уравнении регрессии, факторов. Иными словами, имеют место отклонения фактических данных от теоретических  . Величина этих отклонений и лежит в основе расчета остаточной дисперсии:
Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитываемых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным.Считается, что число наблюдений должно в 7-8 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной  . Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, ибо каждый параметр при   должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Значит, если мы выбираем параболу второй степени  , то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений.
Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения видаили
Уравнение вида   позволяет по заданным значениям фактора   находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора  .
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров   и  , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака   от теоретических   минимальна:
Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной ( 1.2):
Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции, надо вычислить частные производные по каждому из параметров   и   и приравнять их к нулю. Обозначим   через  , тогда:
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров  и
Решая систему уравнений , найдем искомые оценки параметров  и  . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.
Параметр   называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.
Формально   – значение   при  . Если признак-фактор   не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена   не имеет смысла, т.е. параметр   может не иметь экономического содержания.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции  , который можно рассчитать по следующим формулам:
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах:  . Чем ближе абсолютное значение   к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при   имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции  , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака  , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:
где Соответственно величина   характеризует долю дисперсии  , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.
Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.
Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе - критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной   от среднего значения   раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:
где   – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);   – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.