Применение метода Койка для оценки параметров модели с распределенным лагом.

Предположим, что для описания некоторого процесса используется модель с бесконечным лагом вида:

Очевидно, что параметры такой модели обычным МНК или с помощью иных стандартных статистических методов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Однако, приняв определенные допущения относительно структуры лага, оценки ее параметров все же можно получить. Эти допущения: предполагается геометрическая структура лага, при которой воздействие лаговых значений фактора на результат уменьшается при увеличении лага в геометрической прогрессии.

Койк предположил, что существует некоторый постоянный темп λ (от 0 до 1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат. Если, например, в период t результат изменился под воздействием фактора в этот же период времени на b0 ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t-1), результат изменится на ед.; в период (t-2) – на ед., и т.д. для некоторого периода это изменение результата составит .

В более общем виде можно записать:

Выразим с помощью этих соотношений в модели все коэффициенты через и В результате некоторых преобразований (заменим (1), возьмем период (t-1) (2), умножим обе части на (3), из (1) вычтем (3)) получаем модель Койка:

где

Полученная модель есть модель двухфакторной линейной регрессии (точнее - авторегрессии). Определив ее параметры, мы найдем λ и оценки параметров a и b0 исходной модели. Далее с помощью соотношений несложно определить параметры b1,b2,…модели. Отметим, что применении обычного МНК к оценке параметров модели приведет к получению смещенных оценок ее параметров ввиду наличия в этой модели в качестве фактора лаговой результативной переменной yt-1.

Описанный выше алгоритм получил название преобразования койка. Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные xt и yt-1.

Несмотря на бесконечное число лаговых переменных в модели, геометрическая структура лага позволяет определить величины среднего и медианного лагов в модели Койка.

Средний лаг:

Нетрудно заметить, что при средний лаг а при средний лаг т.е. воздействие фактора на результат в среднем занимает менее одного периода времени. Величину интерпретируют обычно как скорость, с которой происходит адаптация результат во времени к изменению факторного признака.