Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 2.1). Выберем внутри него какую-либо точку А и проведем через нее секущую плоскость S-S, которая рассечет объем жидкости на два отсека I и II. Через плоскость S-S на отсек II со стороны отсека I будет действовать сила Р, называемая силой гидростатического давления.
Сила Р будет нормальной силой. Выделим у т. А на поверхности S-S элементарную площадку ∆ω, на которую будет приходиться часть силы Р, которую обозначим ∆Р. Мысленно уменьшая размеры площадки ∆ω, мы получим гидравлическое давление в данной точке, покоящейся жидкости Р, или короче гидростатическое давление
Р=lim ∆Р/∆ω, (∆ω→0),или Р=dР/dω.
Итак, гидростатическое давление есть предел отношения сжимающей силы ∆Р к элементарной площадке ∆ω при уменьшении размеров последней до 0.
Гидростатическое давление обладает следующими свойствами:
1. Гидростатическое давление действует нормально к площадке действия и является сжимающим, т.е. оно направлено внутрь того объема жидкости, который мы рассматриваем.
2. Гидростатическое давление Р в любой точке одинаково по всем направлениям (т.е. не зависит от угла наклона площадки действия).
Для доказательства этого положения выделим внутри покоящейся жидкости произвольную точку А и выделим у этой точки элементарный объем жидкости в виде прямой призмы (рис. 2.2),в основании которойлежит прямоугольный треугольник АВС.
Рис. 2.2
Заменим действие жилкости на призму силами гидростатическоего давления dРх, dРz, dPn, под действием которых призма находится в равновесии. Сила dG-объемная внешняя сила, которой можно пренебречь в силу ее малости.
Т.к. призма находится в равновесии, то треугольник сил будет замкнутым и подобен треугольнику АВС, и тогда из закона подобия следует, что
dРх = dPn= dРz или dРх = dPn= dРz
АВ ВС АС d z d ℓ d x
Разделим все части этого равенства на длину призмы dy:
dРх = dPn= dРz
dzdy dℓdy dxdy
В знаменателе каждого из этих выражений площади соответствующих граней призмы. Если размеры dz, dy, dℓ, dx будут стремиться к 0, то в соответствии с выражением для определения гидростатического давления можно записать
px=рn=рz=р.
Следовательно, можно считать, что положение о равенстве давления в одной точке по всем неравенствам доказано.
Давление может быть различно в разных точках жидкости, тоесть является функцией координат р=ƒ(k,y,z),следовательно, функция давления диференциируема и интегрируема.
В единицах СИ давление выражается в паскалях (Па), килопаскалях (кПа). Связь этих единиц с технической атмосферой следующая:
1 кгс/см2=98100 Н/м2=98100 Па=98,1 кПа=0,0981 МПа
Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкого тела (уравнения Эйлера)
Пусть какой-либо жидкое тело массой М и плотностью ρ находится в равновесии под действием внешних сил, проекции которых на соответствующие координатные оси x,y,z.
Выделим у произвольной т. А бесконечно малый объем жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. Мысленно отбросив окружающую выделенный объем жидкость, заменим ее действие силами. Это будут сжимающие силы, нормальные к каждой из плоских граней. Так, например, к граням параллельным плоскости yOz будут приложены силы dР1 и dР2, направленные навстречу друг другу, вдоль оси Ох (рис. 2.3).
Поскольку жидкое тело находится в равновесии, то условие равновесия всех действующих в направлении оси Ох сил можно записать так :
dFx+dP1-dP2=0, (2.1)
где dFx- проекция на ось Ох элементарной массовой силы.
dFx=dМ*Х
Но элементарную массу dМ можно выразить через произведение плоскости на объем :
dМ=ρdxdydz
Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда :
dР1=р1dydz
dР2=р2dydz,
где р1 и р2 – давление в точках 1и2.
Считая давление в т. А в центре параллелепипеда равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длинны в направлении координатной оси Ох, может быть представлено частной производной ðр/ðх, будет иметь :
р1=р- ðр/ðх*1/2*dх,
р2=р+ ðр/ðх*1/2*dх.
Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (2.1) будем иметь :
ρХdxdydz+( р- ðр/ðх*1/2*dх) dydz-( р+ ðр/ðх*1/2*dх) dydz=0 (2.2)
Поскольку dy≠0 и dz≠0, то разделим обе части уравнения (2.2) на dydz, т.е. отнесем к единице площади, и раскрыв скобки, получим :
ρХdx- ðр/ðх*dх=0
Аналогично можно проделать для двух других координатных осей и получить дифференциальное уравнение вида :
 |
ρХdx- ðр/ðх*dх=0
ρYdy- ðр/ðy*dy=0 (2.3)
ρZdz- ðр/ðz*dz=0
Учитывая, что ρ≠0 и dx≠0, разделим обе части уравнений (2.3) на ρdх, ρdу и ρdz
 |
Х-1/ρ* ðр/ðх=0
Y-1/ρ* ðр/ðy=0 (2.4)
Z-1/ρ* ðр/ðz=0
Эти дифференциальные уравнения равновесия жидкого тела были выведены в 1755г. Действительным членом Российской Академии наук Л. Эйлером и носят его имя. Они позволяют решать всевозможные задачи, связанные с равновесием жидкости.
Сложив почленно все три уравнения, получим:
ðр/ðх*dх+ ðр/ðy*dy+ ðр/ðz*dz=ρ(Хdx+Ydy+Zdz).
Левая часть этого уравненияпредставляет полный дифференциал, т.е. :
dр=ρ(Хdx+Ydy+Zdxz).
Интегрируя это уравнение и считая, что плотность ρ постоянна, получим гидростатическое давление в любой точке жидкости
р=ρ∫( Хdx+Ydy+Zdxz).
Т.о., зная проекции внешних сил x,y,z, можно определить давление в любой точке жидкости.
Если вдоль какой-либо поверхности давление неизменное, т.е. р=const или dр=0, то такая жидкость называется поверхностью равного давления или поверхностью уровня.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему