Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой горизонтальной круглой трубе с внутренним диаметром d = 2r0 (рис. 6.3). Выделим в ней отрезок длиной в между сечениями 1-1 и 2-2. Пусть в сечении 1-1 давление равно р1, а сечении 2-2 – р2. Так как труба горизонтальная, диаметр постоянный, следовательно U1=U2, α = const, то уравнение Бернулли для этих двух сечений будет
p1 / ρg = p2 / ρg + hтр,
где hТр – потеря напора на трение по длине.
Отсюда hтр = p1 – p2 / ρg = pтр / ρg.
РИСУНОК
В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема, т.е. равенство нулю суммы действующих сил: силы давления и сопротивления.
(p1 – p2) π r 2 - 2 π r l τ = 0.
Отсюда τ = pтр r / 2 l (6.1)
Из этой формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 6.3 слева.
Выразим касательное напряжение τ по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости
τ= - μ dU/dy = - μ dU/d r
Подставляя значение τ в предыдущую формулу (6.1) получаем
pтр r/2 l =- μ dU/d r
Найдем отсюда приращение скорости
dU = - pтр rdr / 2μl
Проинтегрируем U= - pтр r 2 / 2μl2 (6.2)
Постоянную интегрирования найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т.е. при r = r0, U=0.
С = pтрr02 / 4 μl.
Подставляя значение С в формулу (6.2) получим выражение для определения скорости по радиусу трубы
U = pтр4 μl (r02-r2) (6.3)
Формула (6.3) называется Законом Стокса для распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.
Нетрудно заметить, что максимальная скорость будет в центре трубы, т.е. при r = 0:
Umax = pтрr02 / 4 μl . (6.4)
Поможем написать любую работу на аналогичную тему