Нужна помощь в написании работы?

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой горизонтальной круглой трубе с внутренним диаметром d = 2r0 (рис. 6.3). Выделим в ней отрезок длиной в между сечениями 1-1 и 2-2. Пусть в сечении 1-1 давление равно р1,  а сечении 2-2 – р2. Так как труба горизонтальная, диаметр постоянный, следовательно U1=U2, α = const, то уравнение Бернулли для этих двух сечений будет

p1 / ρg  =  p2 / ρg + hтр,

где hТр – потеря напора на трение по длине.

Отсюда   hтр = p1 – p2 / ρg = pтр / ρg.

РИСУНОК

В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема, т.е. равенство нулю суммы действующих сил: силы давления и сопротивления.

(p1 – p2) π r 2  - 2 π r l τ = 0.

Отсюда                                                        τ =  pтр r / 2 l                     (6.1)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Из этой формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рис. 6.3 слева.

Выразим касательное напряжение τ по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости

τ= - μ dU/dy = - μ dU/d r

Подставляя значение τ в предыдущую формулу (6.1) получаем

pтр r/2 l =- μ dU/d r

Найдем отсюда приращение скорости

dU = - pтр rdr / 2μl

Проинтегрируем    U= -  pтр r 2  /  2μl2                                                 (6.2)

Постоянную интегрирования найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т.е. при r = r0,   U=0.

С = pтрr02 / 4 μl.

Подставляя значение С в формулу (6.2) получим выражение для определения скорости по радиусу трубы

U = pтр4 μl (r02-r2)                                 (6.3)

Формула (6.3) называется Законом Стокса для распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Нетрудно заметить, что максимальная скорость будет в центре трубы, т.е. при r = 0:

Umax  = pтрr02 /  4 μl .                                (6.4)

Поделись с друзьями
Добавить в избранное (необходима авторизация)