Закон Гагена – Пуазейля

Применим полученный закон распределения скоростей (уравнение (6.3)) для расчета расхода. Для этого сначала выразим элементарный расход через бесконечно малую площадку dω.

dQ=Udω.

Здесь площадку dω возьмем в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда

dQ = pтр /  4 μl (r02 -r2) 2π rdr

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r=0 до r = r0, получим:

Q =  π pтр / 2μl(r02-r2) r dr  =  π pтрr04/8μl.            (6.5)

Найдем среднюю скорость делением расхода на площадь поперечного сечения

Uср  =  Q /  π r02  =   pтр r02 / 8μl                                       (6.6)

Сравнив выражение для средней скорости (6.6) с выражением для максимальной скорости (6.4) получим  Uср = 0,5 Umax, т.е. при ламинарном режиме течения средняя скорость в два раза меньше максимальной.

Для получения закона сопротивления, т.е. hтр = f(Q), определим hтр из уравнения (6.5).

pтр = 8μl Q / π r04   или

hтр  = pтр / ρg = 8μl Q / π r04 ρg

Заменив μ = νρ, d = 2r0, получим

hтр  = 128ν l Q  /  π gd4                                                         (6.7)

Выражение (6.7) называется законом Гагена-Пуазейля и позволяет определить потери энергии при ламинарном течении вязкой жидкости в круглой трубе при заданном расходе Q  на участке длиной l.