Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность - Гидравлика и гидропривод

(, ) может быть создано тяжелой жидкостью при абсолютном или относительном покое. Элементарные силы  составляют в этом случае самую общую систему, которая должна сводиться к силе давления  (46) и моменту  (47). Однако существуют частные случаи,, когда система сводится к одной силе давления , например, если линии действия элементарных сил  пересекаются в одной точке (сферическая стенка).

Рассмотрим криволинейную поверхность S, находящуюся под воздействием внешнего избыточного давления  и весового давления  (рис.9). Как было показано в предыдущем пункте, задачу отыскания силы давления можно расчленить, определяя раздельно силы весового и внешнего давлений. Эту же задачу можно свести к задаче об определении только весового давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного слоя жидкости.

Силу весового давления  определим по ее проекциям. Горизонтальная проекция

,

где  – проекция площадки dS на вертикальную плоскость, нормальную к оси х. Последний интеграл представляет  собой  статический  момент площади  относительно оси y. Следовательно,

,                                                                 (61)

где – координата центра тяжести площади .

Аналогично получим

,                                                                 (62)

где – площадь проекции криволинейной поверхности на плоскость, нормальную оси y.

Таким образом, чтобы вычислить горизонтальную проекцию  силы весового давления на криволинейную поверхность, следует площадь проекции  этой поверхности на плоскость, нормальную к рассматриваемой горизонтальной оси, умножить на давление в центре тяжести площади .

Проекция силы весового давления на вертикальную ось определится соотношением

,                                  (63)

где – проекция на плоскость х0у поверхности S.

Последний интеграл представляет собой объем тела , ограниченного поверхностью S, цилиндрической боковой поверхностью  с вертикальными образующими и проекцией  криволинейной поверхности S на свободную поверхность жидкости. Это тело называется телом давления, а величина  есть вес жидкости в его объеме.

Величина  силы  определится формулой

,                                                       (64)

а направление линии ее действия – направляющими косинусами

; ; .                  (65)

Если ,  и  пересекаются в одной точке, то система сводится к силе давления, проходящей через эту точку.

Возможны два случая расположения криволинейной поверхности (рис. 10 а и б) под уровнем жидкости. В первом случае жидкость расположена над твердой поверхностью; тело давления заполнено жидкостью и считается положительным, а вертикальная составляющая силы направлена вниз. Во втором случае тело давления не заполнено жидкостью и считается отрицательным; вертикальная сила давления направлена вверх.

Если криволинейная поверхность S замкнута и полностью погружена под уровень абсолютно покоящейся жидкости (рис. 11), то воздействие жидкости сводится к одной вертикальной силе. Действительно, для любой горизонтальной оси существуют две противоположно направленные и равные по величине силы, действующие на тело; поэтому результирующая горизонтальных сил равна нулю. Чтобы найти вертикальную силу, проектируем S на свободную поверхность жидкости. Проектирующие вертикали отметят на поверхности тела замкнутую линию l, которая делит поверхность на две части  и . Для верхней части  тело давления положительно и соответствующая ему сила направлена вертикально вниз, а для нижней  – тело давления отрицательно и сила направлена вверх. Обозначив объемы этих тел давления соответственно через  и , найдем величину результирующей вертикальной силы А:

,                                                           (66)

где – объем тела.

Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на погруженное в нее тело направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела. Этот результат составляет содержание закона Архимеда: сила А называется архимедовой или гидростатической подъемной силой. Если G – вес тела, то его плавучесть определяется соотношением сил А и G. При  тело тонет, при  – всплывает, при G = А – плавает в состоянии безразличного равновесия. Следует иметь в виду, что линии действия сил G и А могут не совпадать, так как линия действия веса G проходит через центр тяжести тела, а линия действия архимедовой силы А – через центр его объема. При неравномерном распределении плотности тела может появиться момент, способствующий опрокидыванию тела.

В заключение отметим, что сила давления жидкости по криволинейной поверхности в случаях относительного покоя может быть определена общим способом суммирования элементарных сил давления, применительно к заданной форме поверхности и условиям относительного покоя.