Дифференциальное уравнение гидростатики (Ур-е Эйлера)

Продолжая рассмотрение вопроса о давлении в покоящейся жидкости, мысленно выделим в ней элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными соответствующим осям прямоугольных координат (рис. 2.2) и обозначим через р давление точке М — центр параллелепипеда.

Пусть в точках «а» и «b» граней параллелепипеда, параллельных координатной плоскости xOz, действуют давления р1 и p2. Поскольку точки а и b отстоят от центра параллелепипеда на величины (- dy/2)  и ( + dy/2), а давление в каждой точке жидкости является функцией координат, то величины p1 и р2 с точностью до бесконечно малой более высокого порядка (разложение в ряд Тейлора) могут быть представлены:        p1=p – ½*∂p/∂y*dy ;        p2= p + ½*∂p/∂y*dy .                                             (2.1)

Аналогично можно получить выражения для давления на гранях, параллельных плоскости хОу,

p – ½*∂p/∂z*dz ;           p + ½*∂p/∂z*dz ;

и плоскости yOz           p – ½*∂p/∂x*dx ;           p + ½*∂p/∂x*dx ;

Параллелепипед находится в покое, следовательно, суммы проекций всех сил, действующих на него, на любую ось равны нулю. Спроектировав силы на ось, например у, получим P1dx dz-P2dx dz+pdx dy dz Y= 0 .

Подставляя сюда значения р1 и р1 из (2.1), найдем

(p – ½*∂p/∂y*dy) dx dz – (p + ½*∂p/∂y*dy) dx dz + p dx dy dz Y=0.

Далее, после приведения, получим  —∂p/∂y*dx dy dz + pdx dy dz Y=0    или после сокращения∂p/∂y – pY=0.

Аналогичные уравнения получаются также для проекций на оси  х и у. В результате получаем систему из трех дифференциальных уравнений  X – 1/p*∂p/∂x = 0   Y - 1/p*∂p/∂y = 0   Z - 1/p*∂p/∂z = 0.    (2.2)

Эта система носит название уравнений гидростатики Эйлера: они определяют закон распределения давления вдоль соответствующей оси координат.

Умножая уравнение (2.2) соответственно: первое — на dx, второе — на dy и третье — на dz и складывая, получим       Xdx + Ydy +Zdz -1/p(∂p/∂x* dx + ∂p/∂y* dy + ∂p/∂z* dz) = 0.                      (2.3)

Давление, напомним, есть функция только координат, поэтому выражение в скобках представляет собой полный дифференциал этой функции и уравнение (2.3) можно представить в виде

dp =ρ (Xdx + Ydy + Zdz).                                                      (2.4)

Это уравнение является основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.

Так как левая часть формулы (2.4) является полным дифференциалом, то для однородной жидкости (р = const) и прямая часть тоже должна быть полным дифференциалом некоторой функции U(x,y,z), т.е.

Xdx + Ydy + Zdz = dU,                 Где X= ∂U/∂x , Y=∂U/∂y, Z=∂U/∂z .