Закон Кирхгофа - Лекции по квантовым явлениям

Для характеристики теплового излучения, мы будем пользоваться величиной потока энергии, измеряемой в ваттах.

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π), называют энергетической светимостью тела Rэ.

Излучение состоит из волн различных частот ω (или длин λ). Обозначим поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела в интервале частот dω, через dRω (чтобы не усложнять обозначений, мы опустили индекс «э» при R). При малой величине интервала dω поток dRω будет пропорционален dω

 (1)

Величина rω называется испускательной способностью тела. Опыт показывает, что испускательная способность сильно зависит от температуры тела. Таким образом, rω есть функция частоты и температуры. Соответственно и энергетическая светимость является функцией температуры.

Зная испускательную способность, можно вычислить энергетическую светимость:

            (2)

 (чтобы подчеркнуть, что энергетическая светимость и испускательная способность зависят от температуры, мы их снабдили индексом «T»).

Излучение можно характеризовать вместо частоты со длиной волны λ. Участку спектра dω будет соответствовать интервал длин волн dλ. Определяющие один и тот же участок величины dω и dλ связаны простым соотношением, вытекающим из формулы: λ = c/v = 2πс/ω. Дифференцирование дает:

            (3)

Знак минус в этом выражении не имеет существенного значения, он лишь указывает на то, что с возрастанием одной из величин, ω или λ, другая величина убывает. Поэтому знак минус в дальнейшем мы не будем писать.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dλ, может быть по аналогии с (1) представлена в виде:

    (4)

Если интервалы dw и dl, входящие в выражения (1) и (4), связаны соотношением (3), т. е. относятся к одному и тому же участку спектра, то величины dRω и dRλ, должны совпадать:

.

Заменив в последнем равенстве dl согласно (3), получим:

,

откуда

С помощью (5) можно перейти от rλ к rω и наоборот.

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии dΦω, обусловленный электромагнитными волнами, частота которых заключена в интервале dω. Часть этого потока dΦ′ω будет поглощена телом. Безразмерная величина

  (6)

называется поглощательной способностью тела. Поглощательная способность зависит от температуры тела. Следовательно, аωТ есть функция частоты и температуры.

По определению аωТ не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего упавшее на него излучение всех частот, аωТ = 1. Такое тело называют абсолютно черным. Тело, для которого аωТ = аТ = const < 1, называется серым.

Между испускательной и поглощательной способностью любого тела имеется определенная связь. В этом можно убедиться, рассмотрев следующий эксперимент. Пусть внутри замкнутой оболочки, поддерживаемой при постоянной температуре Т, помещены несколько тел (рис. 2). Полость внутри оболочки эвакуирована, так что тела могут обмениваться энергией между собой и с оболочкой лишь путем испускания и поглощения электромагнитных волн. Опыт показывает, что такая система через некоторое время придет в состояние теплового равновесия — все тела примут одну и ту же температуру, равную температуре оболочки T. В таком состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью rωТ, теряет в единицу времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей rωТ. Поскольку температура (а следовательно и энергия) тел не меняется, то тело; испускающее больше энергии, должно и больше поглощать, т. е. обладать большей аωТ. Таким образом, чем больше испускательная способность тела rωТ, тем больше и его поглощательная Способность аωТ. Отсюда вытекает соотношение:

,

где индексы 1, 2, 3 и т. д. относятся к разным телам.

Кирхгоф сформулировал следующий закон: отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же, (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры:

          (7)

Сами величины rωТ и аωТ, взятые отдельно, могут меняться чрезвычайно сильно при переходе от одного тела к другому. Отношение же их оказывается одинаковым для всех тел. Это означает, что тело, сильнее поглощающее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать (не следует смешивать испускание лучей с их отражением).

Для абсолютно черного тела по определению аωТ = 1. Следовательно, нз формулы (7) вытекает, что rωТ для такого тела равна f(ω,Т). Таким образом, универсальная функция Кирхгофа f(ω,Т) есть не что иное, как испускательная способность абсолютно черного тела.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты — f(ω,Т). В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны — φ(λ,Т). Обе функции связаны друг с другом формулой

,        (8)

аналогичной формуле (5). Согласно (8) для того, чтобы по известной функции f(ω,Т) найти φ(λ,Т), нужно заменить в f(ω,Т) частоту ω через 2πс/λ и получившееся выражение умножить на 2πс/λ2:

          (9)

Для нахождения f(ω,Т) по известной φ(λ,Т) нужно воспользоваться соотношением:

    (10)

Абсолютно черных тел в природе не существует. Сажа или платиновая чернь имеют поглощательную способность аωТ,  близкую к единице, лишь в ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы. Однако можно создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к абсолютно черному телу.

Такое устройство представляет собой почти замкнутую полость, снабженную малым отверстием (рис. 3). Излучение, проникшее внутрь через отверстие, прежде чем выйти обратно из отверстия, претерпевает многократные отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все излучение любой частоты поглощается такой полостью. Согласно закону Кирхгофа испускательная способность такого устройства очень близка к f(ω,Т), причем Т означает температуру стенок полости. Таким образом, если стенки полости под-церживать при некоторой температуре Т, то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Разлагая это излучение в спектр с помощью дифракционной решетки и измеряя болометром интенсивность различных участков спектра, можно найти экспериментально вид функции f(ω, Т) или φ(λ,Т). Результаты таких опытов приведены на рис. 4. Разные кривые относятся к различным значениям температуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре.

Кривые на рис. 4 очень похожи на кривые распределения молекул газа по скоростям. Правда, есть и существенное отличие. В то время как кривые распределения по скоростям для разных температур пересекают друг друга (охватываемые ими площади одинаковы), кривые спектрального распределения излучения абсолютно черного тела для более низких температур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам (как мы увидим в следующем параграфе, площадь, охватываемая этими кривыми, пропорциональна четвертой степени температуры).

Из рис. 4 следует, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в сторону более коротких волн.