Формула Планка - Лекции по квантовым явлениям

Вывод формулы Рэлея — Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.

В 1900 г. Планку удалось найти вид функции f(ω,T), в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

      (27)

Коэффициент пропорциональности ħ получил впоследствии название постоянной Планка. Определенное из опыта значение равно:

       (28)

В механике есть имеющая размерность «энергиях X время» величина, которая называется действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия. Заметим, что размерность ħ совпадает с размерностью момента импульса.

Если излучение испускается порциями ħω, то его энергия εn должна быть кратной этой величине:

   (29)

Согласно закону Больцмана вероятность Рп того, что энергия излучения имеет величину еп, определяется выражением:

          (30)

Нормировочный множитель А можно найти, исходя из условия, что сумма всех Рп должна быть равна единице. Действительно, сумма Рп представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак,

,

откуда

.

Подставив найденное значение А в формулу (53.4), получим:

.

Предположим, что мы имеем возможность измерить значение энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени. Произведем через равные промежутки времени Δt очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значений на число измерений N, мы найдем среднее по врег мени значение энергии . При очень большом N количество измерений Nn, которые дадут результат εп, будет равно NPn. Поэтому

                   (31)

Таким образом, среднее значение энергии излучения частоты со определяется следующим выражением:

      (32)

Чтобы произвести вычисления, обозначим bw/kT = х и допустим, что величина х может изменяться, принимая непрерывный ряд значений. Тогда выражение для ё можно записать в виде:

 (33)

Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем прогрессии, равным е-x. Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия будет убывающей, и по известной из алгебры формуле

.

Подставив это значение суммы в (53.7) и выполнив дифференцирование, получим:

.

Наконец, заменив х его значением ħω/kT, получим окончательное выражение для средней энергии излучения частоты ω:

               (34)

Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула (26) переходит в классическое выражение . В этом можно убедиться, положив , что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно kT.

Заменив в формуле Рэлея — Джинса kT выражением (34), получим формулу, найденную Планком:

             (35)

Эта формула, как уже отмечалось, точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞. Она удовлетворяет критерию Вина (26). При условии, что ħω/kT<1 (малые частоты или большие длины волн),  можно положить равным приближенно 1 + ħω/kТ, в результате чего формула (53.9) переходит в формулу Рэлея — Джинса. Это следует также непосредственно из того, что при указанном условии выражение (35) приближенно равняется kT.

Осуществив преобразование по формуле (35), получим:

       (36)

На рис. 8 сопоставлены графики функций (35) и (36), построенные для одной и той же температуры (5000° К). Масштабы по оси абсцисс логарифмические и выбраны так, что связанные соотношением λ = 2πс/ω значения λ и ω совмещены друг с другом. Из рисунка видно, что частота ωm, соответствующая максимуму f(ω,Т), не совпадает с 2πс/λm, где λm — длина волны, отвечающая максимуму φ(λ,Т).

Для энергетической светимости абсолютно черного тела получается выражение:

.

Введем вместо ω безразмерную переменную х = ħω/kT. Подстановка ω = (kT/ħ)x, dω = (kT/ħ)dx преобразует формулу для R*э к виду:

.

Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равен π4/15 = 6,5. Подставив его значение, мы придем к закону Стефана — Больцмана:

          (37)

Подстановка в эту формулу численных значений k, с и ħ дает для постоянной Стефана — Больцмана величину 5,6696∙10-8 вт/м2∙град4, очень хорошо согласующуюся с экспериментальным значением (37).

В заключение найдем значение постоянной в законе смещения Вина (16). Для этого продифференцируем функцию (36) по λ и приравняем получившееся выражение нулю:

.

Удовлетворяющие этому уравнению значения λ = 0 и λ = ∞ соответствуют минимумам функции φ(λ,T). Значение λm, при котором функция достигает максимума, обращает в нуль выражение, стоящее в числителе в квадратных скобках. Обозначив 2πħc/kTλm = x, получим уравнение:

.

Решение этого трансцендентного уравнения дает х = 4,965. Следовательно, 2πħc/kTλm = 4,965, откуда

.

Подстановка численных значений ħ, с и k дает для b величину 2,90∙103 мк∙град, совпадающую с экспериментальным значением (17).

Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения.