Формула Рэлея — Джииса

Рэлей и Джинс сделали попытку определить функцию f(ω,T), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половникам kT— одна половинка на электрическую, вторая—на магнитную энергию волны (напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT).

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью и = и(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией и (ω,Т), определяемой условием: duω = и(ω,Т)dω, где duω — доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dω. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:

        (18)

Равновесная плотность энергии излучения и(Т) зависит только от температуры и не зависит ют свойств стенок полости. Это следует из термодинамических соображений. Рассмотрим две полости, стенки которых изготовлены из разных материалов и имеют первоначально одинаковую температуру. Допустим, что равновесная плотность энергии в обеих полостях различна и, скажем, u1(Т)> u2(Т). Соединим полости с помощью небольшого отверстия (рис. 5) и тем самым позволим стенкам полостей вступить в теплообмен через излучение. Так как по предположению u1 > u2, поток энергии из первой полости во вторую должен быть больше, чем поток, текущий во встречном направлении.

 В результате стенки второй полости станут поглощать больше энергии, чем излучать, и температура их начнет повышаться. Стенки же первой полости станут поглощать меньше энергии, чем излучать, так что они будут охлаждаться. Однако два тела с первоначально одинаковой температурой не могут вследствие теплообмена друг с другом приобрести различные температуры — это запрещено вторым началом термодинамики. Поэтому наше допущение о неодинаковости u1 и и2 должно быть признано неправомерным. Вывод о равенстве u1(Т) и и2(Т) распространяется на каждую спектральную составляющую u(ω,Т).

Независимость равновесного излучения от природы стенОк полости можно пояснить следующими соображениями. Абсолютно черные стенки поглощали бы всю упавшую на них энергию Фэ и испускали бы такой же по величине поток энергии Фэ. Стенки с поглощательной способностью а поглотят долю аФэ упавшего на них потока Фэ и отразят поток, равный (1—а)Фэ. Кроме того, они излучат поток аФэ (равный поглощенному потоку). В итоге стенки полости вернут излучению поток энергии Фэ = (1—а)Фэ + аФэ, такой же, какой возвращали бы излучению абсолютно черные стенки.

Равновесная плотность энергии излучения и связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R*э простым соотношением, которое мы сейчас выведем.

В случае плоской волны (т. е. когда энергия переносится волной в одном, определяемом вектором k направлении) плотность потока энергии I может быть представлена как произведение плотности энергии и на скорость волны с: I = си. Через каждую точку внутри полости проходит бесчисленное количество волн, направления которых равномерно распределены в пределах телесного угла 4л. Поток энергии I = си также распределен равномерно в пределах этого телесного угла. Следовательно, в пределах телесного угла dQ будет заключен поток энергии, плотность которого равна:

.

Возьмем на поверхности полости элементарную площадку ΔS . Эта площадка посылает в пределах телесного угла  в направлении, образующем с нормалью угол , поток энергии:

По всем направлениям, заключенным в пределах телесного угла 2π, площадка ΔS посылает поток энергии:

.

Вместе с тем поток Фэ должен быть таким, какой излучали бы абсолютно черные стенки. Последний же поток по определению равен R*эΔS. Следовательно,

    (19)

Соотношение (19) должно выполняться для каждой спектральной составляющей излучения. Отсюда вытекает, что

    (20)

Рэлей и Джине исходили из того, что равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн. Такое представление оправдывается тем, что замена поглощающих стенок полости идеально отражающими стенками не изменяет плотности энергии равновесного излучения. Возникновение стоячих волн возможно лишь при выполнении определенных условий.  Пусть полость имеет форму прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b и с. Совместим с ребрами параллелепипеда координатные оси х, у, z . Условие возникновения стоячей волны вдоль оси х имеет вид:

 (21)

где kx — модуль волнового вектора, совпадающий в дан
ном случае с проекцией волнового вектора на ось х. За-
метим, что данная стоячая волна образована наложением двух бегущих волн, для которых значения kx отличаются знаком. Для стоячих волн, устанавливающихся вдоль оси у или оси z, должны выполняться условия, аналогичные (21). Если волновой вектор к не совпадает с направлением ни одной из координатных осей, условия, аналогичные (21), должны выполняться одновременно для всех трех проекций вектора к:

 (22)

В этом случае стоячая волна с данным значением "к (т. е. k) представляет собой суперпозицию восьми бегущих волн одинаковой длины, но различных направлений, для которых проекции волнового вектора равны:

Одинаковые по модулю векторы k, соответствующие восьми приведенным выше комбинациям чисел kx, ky и kz, располагаются в разных октантах. Векторы (1) и (8) имеют противоположные направления; то же самое относится к векторам (2) и (7), (3) и (6), а также (4) и (5). Векторы (1) и (2) симметричны относительно координатной плоскости yz, векторы (1) и (3) — относительно плоскости xz и т. д.

Каждая тройка чисел т1 т2 и т3 определяет возможное значение волнового числа:

По определению k = 2π/λ = ω/с. Следовательно, каждой тройке чисел m1 m2 и m3 соответствует возможное значение частоты стоячей волны ω (или длины волны λ). Определим количество возможных частот dNω, попадающих в интервал dω. Для этого возьмем прямоугольную систему координат с осями kx, ky, kz (рис. 6). Такую систему называют координатной системой в k-пространстве. Каждой стоячей волне с данным значением k будет соответствовать в k-пространстве точка с координатами, определяемыми условиями (22) (точки размещаются в октанте с положительными kx, ky, kz). Плотность этих точек в к-пространстве равна  (объем прямоугольного параллелепипеда с вершинами, помещающимися в соседних точках, равен ; в пределы такого параллелепипеда попадает одна точка).

Количество волн dNk, для которых мо
дуль волнового вектора лежит в пределах от k до k + dk, равно количеству точек в ⅛ объема шарового слоя толщины dk (см рис. 6):

    (23)

 (V — объем полости). Произведя в (23) замену: k = ω/с, dk = dω/c, найдем число волн dNω, частоты которых попадают в интервал от ω до ω + dω:

   (24)

Вдоль заданного направления могут распространяться две электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся направлением поляризации (поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях). Чтобы учесть это обстоятельство, нужно выражение (52.7) умножить на два. Число колебаний (52.7) пропорционально объему полости V. Поэтому можно говорить о числе колебаний dnω, приходящихся на единицу объема полости. Учтя оба направления поляризации, получим:

           (25)

Умножив (25) на среднюю энергию одного колебания, получим приходящуюся на интервал частот dω энергию излучения, заключенную в единице объема, т. е. u(ω,T)dω. Исходя из закона равнораспределения энергии по степеням свободы, Рэлей и Джине приписали каждому колебанию энергию, равную kT (см. выше). В этом случае

 или

     (26)

Перейдя от и(ω,Т) к f(ω,Т) по формуле (26), получим:

Выражение (26), равно как и (25), называется формулой Рэлея — Джинеса. Заметим, что функция (26) удовлетворяет полученному Вином условию (25).

Формула Рэлея — Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (см. рис. 7), на котором сплошной линией изображена экспериментальная кривая, пунктиром — кривая, построенная по формуле Рэлея — Джинса).

Интегрирование выражения (23) или (24) по со в пределах от 0 до ∞ дает для равновесной плотности энергии и(Т) и для энергетической светимости R*э бесконечно большие значения.- Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, также находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях и(Т).