Токи в массивных проводниках.

Рассмотрим закон Джоуля - Ленца для участка цепи, когда на нем действуют электрические и сторонние силы напряженностью  и  соответственно. Мы хотим найти удельную мощность, которая выделяется в бесконечно маленьком объемчике вблизи выбранной точки.

Известно, что мощность можно записать как скалярное произведение силы на скорость . Учитывая, что  и  коллинеарные с , мощность, выделяемую при движении одного носителя заряда можно записать так .

А теперь запишем мощность , выделяемую в объеме , заряд в котором равен :  . Величину, равную  будем называть плотностью мощности, где  - модуль вектора плотности тока.

Формула  была получена для маленького объема в среде, а теперь представим обозримый проводник – тонкую проволоку.

Найдем работу, которую совершают электрические и сторонние силы по перемещению заряда в проволоке . Здесь  - работа электрических сил по перемещению единичного положительного заряда, а  - работа сторониих сил по перемещению единичного положительного заряда. По определению мощности найдем .

Приведем общие примеры.

Имеется бесконечная поводящая седа, н.р. земной шар. В ней есть два хороших проводника в виде шариков, расположенных на расстоянии  друг от друга, известен их радиус . Проводимость шариков много больше проводимости земного шара. Проводники соединены с источником эдс . Найдем сопротивление между шариками. Для этого опишем ток, который показал бы амперметр.

Ток – поток вектора  через некоторую поверхность . Поскольку ток потечет во всех направлениях, то выберем замкнутую поверхность  в виде концентрической сферы вокруг одного из шариков. Будем считать, что в среде выполняется закон Ома в дифференциальной форме , где  - проводимость среды в данной точке.

Итак, с одной стороны .

С другой стороны:

Шарики – это хорошие проводники, помещенные в плохой диэлектрик, значит их можно рассматривать как конденсатор с “утечкой”, тогда  - заряд на конденсаторе .

Теперь в выражении  посчитаем емкость.

Среду можно охарактеризовать диэлектрической проницаемостью  - в диэлектрике поля в  раз ослабляются .

Сделаем оценки:

Пусть , найдем емкость двух шариков на расстоянии, без диэлектрика:   Если шарики далеко, то потенциал в любой точке поверхности  создается полями обоих шариков, причем поле дальнего шарики много меньше поля, создаваемого шариком, окруженным поверхностью . Поэтому в вакууме приближенно  .

В диэлектрике емкость возрастает в  раз .

, тогда  - сюда не вошло расстояние между шариками, значит, как бы далеко не были воткнуты проводники в землю – сопротивление будет одно и тоже!

 Теперь мы доказали, что если требуется передать напряжение, в качестве одного из двух проводов можно использовать землю.