Рассмотрим в пространстве произвольное электростатическое поле. Введем декартовую систему координат. Зафиксируем некоторую точку А и построим вокруг неё меленький кубик, на столько маленький, что внутри него не меняется поле и объёмная плотность заряда. Его ребра параллельны осям координат и называются
,
и
.
Поместим туда единичный положительный заряд с посчитаем работу по его перемещению вдоль оси на
. Эта работа равна
, где
-орт. Из этого равенства получим следующее соотношение
. Проделав ту же операцию по другим координатам получим:
,
. Теперь сконструируем вектор
Теперь вспомним т. Гаусса в дифференциальной форме:
Дивергенция вектора выражается следующим образом:
, а дивергенция от градиента потенциала:
, где
-- оператор Лапласа (лапласиан) обозначается символами
, или
. Итак, получается, что в электростатике справедлива следующая формула:
видим, что потенциал определяется через объёмную плотность заряда в точке. Это уравнение можно решить в очень ограниченном числе случаев.
Следует заметить частный случай, когда мы рассматриваем точку, в которой нет зарядов, но рядом может находиться заряженное тело, тогда в этой точке .
Поможем написать любую работу на аналогичную тему