Нужна помощь в написании работы?

Рассмотрим движение частицы в некотором однородном поле. Будем задавать его (поле) не силами а потенциальной энергией (т.е. силы консервативны). Пусть диссипативных сил нет. Рассмотрим следующий вид зависимости потенциальной энергии от координаты.

Пусть минимум потенциальной энергии в точке (0,0). Такое поле – потенциальная яма.

Пусть в некоторый момент времени, когда точка была в нуле, телу сообщили кинетическую энергию , т.к. нет диссипативных сил, то полная механическая энергия постоянна и равна . В точке , частица имеет потенциальную энергию, определяющейся точкой на графике. При движении по оси  будет расти потенциальная энергия и уменьшаться кинетическая, и в некоторой точке  потенциальная энергия станет равна  а кинетическая станет равна нулю.

Частица совершает непрерывные движения в ограниченной области пространства повторяя свою траекторию – это колебательное движение.

Пусть колебания малые. Разложим  в ряд Тейлора вблизи ноля:

Допустим, что колебания настолько малы, что мы с достаточной погрешностью можем ограничиться квадратичным слагаемым. Тогда:

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

, где .

Т.о. если энергия мала, то низ ямы можно представить как параболу.

;

;

;

.

Мы рассмотрели как описывать механические движения в потенциальной яме. Если колебания на столько маленькие, что «дно ямы» можно описать параболой, то колебания описываются формулой , аналогично могут описываться и большие колебания, при условии, что яма параболическая.

Рассмотрим параболическую яму или самое донышко любой другой.

Итак, зависимость потенциальной энергии тела от координаты имеет вид . Найдем зависимость силы, действующей на тело, от его координаты: . Заметим, что эта сила линейна.

Решим дифференциальное уравнение , описывающее движение в параболической яме.

 - в общем случае произвольные комплексные числа. Поскольку  - действительная величина, то всегда выполняется соотношение , а значит  это тождество верно для любого момента времени .

Если     ,     .

Пусть , , где  - некоторые произвольные действительные числа.

Запишем решения в другом виде .

Запишем комплексные числа в тригонометрическом виде распишем косинус суммы , где , .

Все, что колеблется по такому закону называется «гармонические колебания»  

Величина  называется амплитудой гармонических колебаний,

 - фаза гармонических колебаний – величина, зависящая от времени. - начальная фаза.

Если координата записывается , то скорость и ускорение записываются соответственно.

Найдем такое время , через которое повторится, т.е. выполняется равенство . , , , где

 величина  называется периодом колебаний. Периодов много, но можно рассматривать наименьший .

 - круговая (циклическая) частота колебаний .

 - называется «просто» частота колебаний. .

Напишем выражения для энергий:

Энергия осциллирует и всегда положительна.

.

Полная энергия не зависит от времени – сохраняется.

 - произвольные постоянные в общем решении дифференциального уравнения, их можно найти из начальных условий.

Н.р.  ,

 решив эту систему, найдем , зная  и ,

,

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями