Следствия из уравнений Максвелла. Плотность энергии и плотность потока энергии.

Пусть в неком объёме V выделяется тепловая мощность . (закон Джоуля-Ленца). Пользуясь одним из уравнений Максвелла, подставим выражение для  j. . Далее преобразуем это выражение, а также добавим и вычтем одинаковый член.

. Объединяя первое и второе слагаемое под интегралом , а так же, заменяя  получаем:   .

Обозначим первый интеграл как, а во втором  . Теперь подставим эти выражения в предыдущее. У нас получилось следующее: , где -вектор Умова-Пойтинга. Мы преобразовали закон Джоуля-Ленца, используя формулы векторного анализа. Рассмотрим, что сюда входит.

Воспользуемся теоремой Гаусса и перепишем это выражение в другой форме:

.

Внешнюю поверхность устремим в бесконечность, то есть охватим всё поле. Поскольку , а . Получается, что ведёт себя как , а  как . Поэтому , при r~ бесконечность, то поток ~0, а следовательно

Следовательно, мы получаем . СМЫСЛ: Если во всём пространстве выделяется тепловая энергия в единицу времени , то она равняется убыли некоторой величины  в этом объёме. Теперь можно толковать, что W – это энергия электромагнитного поля. Следовательно электромагнитное поле обладает энергией распределённой в пространстве , а во всё объёме .

Мы видим отсюда, что убыль энергии в конечном объёме V  в пространстве в единицу времени равна тепловой выделяемой мощности и потоку некоторого вектора через поверхность, ограничивающий данный объём. Естественно толковать вектор Умова-Пойтинга, как поток энергии электромагнитного поля, вытекающий через единицу поверхности, ограничивающий этот объём в единицу времени.Мы определили смысл вектора Умова-Пойтинга, выяснили, что электромагнитное поле обладает энергией.

Из теории относительности известна связь между энергией и импульсом для частиц с массой равной .

Обозначим импульс электромагнитного поля через g, и он будет равняться:. Это импульс электромагнитного поля через единицу поверхности в единицу времени.