Закон Био - Савара - Лапласа и его применение к расчету магнитного поля - Шпаргалка по Электростатике

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

,   (110.1)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника d точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r.

Модуль вектора dB определяется выражением

.   (110.2)

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции:

                     (110.3)

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165).

В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол  (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

.           (110.4)

Так как угол  для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

   (110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sinα=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

.

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

.