СВЕТОВАЯ ВОЛНА НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ - Лекции по Оптике.

Отражение и преломление волнового вектора  на границе двух диэлектриков, даёт плоская электромагнитная волна, которая попадает на плоскую границу раздела двух однородных и изотропных диэлектриков с проницаемостями  и . Магнитные проницаемости полагаем равными единице. Кроме распространяющейся во втором диэлектрике плоской преломлённой волны, возникает плоская отражённая волна, распространяющаяся в первом диэлектрике (волновые векторы , соответственно) На границе двух диэлектриков должно выполняться условие

,                                                   (3.1.4 )

где  и  - тангенциальные составляющие напряжённости электрического поля в первой и во второй среде соответственно.

Согласно уравнению (3.1.4 ), циркуляция  в случае переменных полей равна интегралу . Поскольку  конечно, при предельном переходе интеграл в правой части обращается в нуль.

Пусть вектор , определяющий направление распространения падающей волны, лежит в плоскости чертежа (рис.3.1.2). Направление нормали к поверхности раздела охарактеризуем вектором . Плоскость, в которой лежат векторы  и , называется плоскостью падения волны. Возьмем линию пересечения плоскости падения с границей раздела диэлектриков в качестве оси . Ось  направим перпендикулярно к плоскости раздела диэлектриков. Тогда ось  будет перпендикулярна к плоскости падения, а вектор  окажется направленным вдоль оси  (рис.3.1.2). Из соображений симметрии ясно, что векторы  и  могут лежать лишь в плоскости падения (среды однородны и изотропны).

Выделим из естественного падающего луча, плоско поляризованную составляющую, в которой направление колебаний вектора  образует с плоскостью падения произвольный угол. Колебания вектора  в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в направлении вектора , описываются функцией

(при сделанном нами выборе осей координат проекция вектора  на ось  равна нулю, поэтому в показателе экспоненты отсутствует слагаемое ). За счет выбора начала отсчета  мы сделали начальную фазу волны равной нулю.

        Напряженности в отраженной и преломленной волнах определяются аналогичными выражениями:

,

( и  - начальные фазы соответствующих волн).

          Результирующее поле в первой среде равно

.

Во второй среде

.

Согласно ( 3.1.4 ) тангенциальные составляющие этих выражений на поверхности раздела, т. е. при , должны быть одинаковыми, тогда

.                            (3.1.5 )

Для того чтобы условие ( 3.1.5 ) выполнялось при любом , необходимо равенство всех частот:

.

Частоты отраженной и преломленной волн совпадают с частотой падающей волны.

Для того чтобы условие ( 3.1.5 ) выполнялось при любом , необходимо равенство проекций волновых векторов на ось :

.                                                 ( 3.1.6 )

Показанные на рис. 3.1.2 углы  и  называются углом падения, углом отражения и углом преломления. Из рисунка видно, что. Поэтому соотношение ( 3.1.6 ) можно написать в виде

.

Векторы  и  имеют одинаковый модуль, равный ; модуль вектора  равен . Следовательно,

.

Отсюда вытекает, что

,                                                      ( 3.1.7 )

.                                            ( 3.1.8 )

Полученные нами соотношения выполняются для любой плоско поляризованной составляющей естественного луча. Следовательно, они справедливы и для естественного луча в целом.

Соотношение ( 3.1.7 ) выражает закон отражения света, согласно которому отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.

Соотношение ( 3.1.8 ) выражает закон преломления света, который формулируется следующим образом:  преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.

Величина  называется относительным показателем преломления второго вещества по отношению к первому. Представим эту величину в виде

.

Таким образом, относительный показатель преломления двух веществ равен отношению их абсолютных показателей преломления.

Заменив в формуле  отношением , можно представить закон преломления в виде

.

Из этой формулы видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения  сопровождается более быстрым ростом угла преломления , и по достижении углом  значения

угол  становится равным . Угол, определяемый формулой, называется предельным углом.

            Энергия, которую несет с собой падающий луч, распределяется между отраженным и преломленным лучами. По мере увеличения угла падения интенсивность отраженного луча растет, интенсивность же преломленного луча убывает, обращаясь в нуль при предельном угле. При углах падения, заключенных в пределах от  до , световая волна проникает во вторую среду на расстояние порядка длины волны  и затем возвращается в первую среду. Это явление называется полным внутренним отражением.

Найдем соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волн. Ограничимся случаем нормального падения плоской волны на поверхность раздела однородных и изотропных диэлектриков с показателями преломления  и . Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через ,  и , а магнитную составляющую через ,  и .

Из соображений симметрии следует, что колебания векторов  и  происходят вдоль того же направления, что и колебания вектора . Аналогично колебания векторов  и  происходят вдоль направления вектора .

В данном случае нормальные составляющие векторов  и  равны нулю. Поэтому тангенциальные составляющие этих векторов совпадают с самими векторами. На рис. 3 изображены мгновенные значения векторов  и  в падающей, отраженной и преломленной волнах.  На рисунке показаны также орты ,  и  направлений, вдоль которых распространяются соответствующие волны. Рисунок выполнен в предположении, что (  )   направления векторов  и  одинаковы, а    векторов  и  противоположны (в этом случае векторы ,  и  направлены за чертеж). Действительные соотношения между направлениями векторов определятся расчетом. Модули векторов  и  связаны соотношением . Тройка вектора , ,  образует правовинтовую систему:

.                                                   ( 3.1.19 )

Аналогичные соотношения имеют место и для векторов в отраженной и преломленной волнах.

Условия непрерывности тангенциальных составляющих векторов  и

,                                                           ( 3.1.20 )

.                                                          ( 3.1.21 )

Значения векторов берутся в непосредственной близости к границе раздела. Заменив в ( 3.1.21 ) векторы  векторами  получим (после сокращения на )

.

Учтя, что , преобразуем последнее соотношение

.

Отсюда

.

Векторы  и  взаимно перпендикулярны, тогда

.                                            ( 3.1.22 )

Решив совместно уравнения ( 3.1.20 ) и ( 3.1.22 ), получим

,                                             ( 3.1.23)

.                                             ( 3.1.24 )

Из формулы ( 3.1.24 ) вытекает, что векторы  и  имеют в каждый момент времени одинаковое направление, колебания в падающей и в прошедшей во вторую среду волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе –  при прохождение волны через эту границу фаза не претерпевает скачка.

Из формулы ( 3.1.23 ) вытекает, что при  направление вектора  совпадает с направлением вектора , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в одинаковой фазе – фаза волны при отражении не изменяется. Если же , то направление вектора  противоположно направлению , колебания в падающей и отраженной волнах происходят на границе раздела в противофазе - фаза волны при отражении изменяется скачком на . Полученный результат справедлив и при наклонном падении волны на границу раздела двух прозрачных сред.

Итак, при отражении световой волны от границы раздела среды оптически менее плотной со средой оптически более плотной ( при  ) фаза колебаний светового вектора претерпевает изменение на . При отражении от границы раздела среды оптически более плотной со средой оптически менее плотной ( при   ) такого изменения фазы не происходит.

Подставив в выражение  значения ( 3.1.22 ) и ( 3.1.23 ) для  и , придем после несложных преобразований к соотношению

.

Это соотношение получено для мгновенных значений . Аналогичное соотношение имеет место и для амплитудных значений светового вектора:

.                                     ( 3.1.25 )

 можно трактовать как величину, пропорциональную  интенсивности  падающей волны,  - как величину, пропорциональную интенсивности  отраженной волны,  - как величину,   пропорциональную   интенсивности  преломленной волны. Таким образом, соотношение ( 3.1.25 ) выражает закон сохранения энергии.

Полученные соотношения позволяют найти коэффициент отражения  и коэффициент пропускания  световой волны (для случая нормального падения на границу раздела двух прозрачных сред). Действительно, по определению

.

Подставив в это выражение отношение  полученное из ( 3.2.23 ), придем к формуле

,                                            ( 3.1.26 )

где   - показатель преломления второй среды по отношению к первой.

Для коэффициента пропускания получается выражение

.

Сумма , как и должно быть, равна единице.

Отметим, что замена в формуле ( 3.1.26 )  на обратную ему величину  не изменяет значения . Следовательно, коэффициент отражения поверхности раздела двух данных сред для обоих направлений распространения света имеет одинаковое значение.