Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера) - Шпаргалки к экзамену по оптике

Дифракция плоских волн была впервые рассмотрена Фраунгофером.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис. 3.3.19). Поместим

- за щелью собирающую линзу,

- в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.

Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова.

Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости рис. 3.3.19. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол , образуемый лучом с оптической осью  линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны   ширины .

Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана .

Каждая элементарная зона создаст в точке  колебание .

Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны. Поэтому множитель  в выражении для  в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать.

Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов , можно коэффициент  считать постоянным. Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны.

Площадь пропорциональна ширине зоны .

Следовательно, амплитуда  колебания , возбуждаемого зоной ширины  в любой точке экрана, имеет вид

,

где  - константа.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав  по всей ширине щели :

.

Отсюда , и, следовательно,

.

Определим теперь фазовые соотношения между колебаниями .

Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке  элементарными зонами с координатами  и  (рис. 3.3.19).

Оптические пути  и  таутохронны (см. рис.3.3.19).

 Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути , равном .

Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке  элементарной зоной, находящейся в середине щели , положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна

( - длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой  в точке  (положение которой определяется углом ), может быть представлено в виде

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке  открываемым щелью участком волновой поверхности:

.

Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла.

Введем обозначение

.

Получим в результате

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду  результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная на , представляет собой , можно написать

.

Последнее выражение является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

.                                          (3.3.3)

Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановка этого значения в последнюю формулу дает для амплитуды значение 2.

Этот результат можно получить более простым путем.

При  колебания от всех элементарных зон приходят в точку  в одинаковой фазе.

Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях , удовлетворяющих условию: ,

т. е. в случае, если

,                                        (3.3.4)

амплитуда  обращается в нуль. Таким образом, последнее условие определяет положения минимумов интенсивности.

Отметим, что  представляет собой разность хода  лучей, идущих в точку  от краев щели (см. рис. 3.3.19).

Последнее условие легко получить из следующих соображений.

 Если разность хода  от краев щели равна , открытую часть волновой поверхности можно разбить на  равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна  (см. рис. 3.3.20, выполненный для ).

Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки  разность хода  равна  число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (3.3.3) получаем

,                                     (3.3.5)

где

 - интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы),  - интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы.

Заметим, что при смещении

• щели параллельно экрану (вдоль оси  на рис. 3.3.20) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы).
• линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

График последней функции изображен на рис. 3.3.21:

• По оси абсцисс отложены значения ,
• по оси ординат - интенсивность .

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели  к длине волны .

 Из условия выше следует, что .

Модуль  не может превысить единицу. Поэтому , откуда

.

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия . Эти значения равны .

Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна

.

В случае, когда , значение  можно положить равным . Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом: