Дифракция плоских волн (дифракция Фраунгофера)

Дифракция плоских волн была впервые рассмотрена Фраунгофером.

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис. 3.3.19). Поместим

- за щелью собирающую линзу,

- в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.

Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова.

Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости рис. 3.3.19. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол , образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины .

Вторичные волны, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана .

Каждая элементарная зона создаст в точке колебание .

Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны. Поэтому множитель в выражении для в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать.

Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов , можно коэффициент считать постоянным. Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны.

Площадь пропорциональна ширине зоны .

Следовательно, амплитуда колебания , возбуждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид

где - константа.

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели :

Отсюда , и, следовательно,

Определим теперь фазовые соотношения между колебаниями .

Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке элементарными зонами с координатами и (рис. 3.3.19).

Оптические пути и таутохронны (см. рис.3.3.19).

Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути , равном .

Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке элементарной зоной, находящейся в середине щели , положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна

( - длина волны в данной среде).

Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой в точке (положение которой определяется углом ), может быть представлено в виде

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке открываемым щелью участком волновой поверхности:

Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла.

Введем обозначение

Получим в результате

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что разность экспонент, деленная на , представляет собой , можно написать

Последнее выражение является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. (3.3.3)

Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановка этого значения в последнюю формулу дает для амплитуды значение 2.

Этот результат можно получить более простым путем.

При колебания от всех элементарных зон приходят в точку в одинаковой фазе.

Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях , удовлетворяющих условию: ,

т. е. в случае, если

, (3.3.4)

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, последнее условие определяет положения минимумов интенсивности.

Отметим, что представляет собой разность хода лучей, идущих в точку от краев щели (см. рис. 3.3.19).

Последнее условие легко получить из следующих соображений.

Если разность хода от краев щели равна , открытую часть волновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна (см. рис. 3.3.20, выполненный для ).

Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки разность хода равна число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (3.3.3) получаем

, (3.3.5)

где

- интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы), - интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением .

Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы.

Заметим, что при смещении

щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 3.3.20) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы).
линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смещением картины на экране.

График последней функции изображен на рис. 3.3.21:

По оси абсцисс отложены значения ,
по оси ординат - интенсивность .

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны .

Из условия выше следует, что .

Модуль не может превысить единицу. Поэтому , откуда

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла , получающиеся из условия . Эти значения равны .

Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна

В случае, когда , значение можно положить равным . Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:

Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины.

Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же величину , зависящую от угла , определяющего направление на точку наблюдения . векторная диаграмма

рис.3.3. 19, а

При . разность фаз равна нулю.

Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.

рис. 3.3.22, б

при , колебания от краев щели находятся в противофазе.

Соответственно векторы располагаются вдоль полуокружности длиной .

Следовательно, результирующая амплитуда равна .

на рис. 3.3.22.

при , колебания от краев щели отличаются по фазе на . Векторы располагаются вдоль окружности длиной .

Результирующая амплитуда равна нулю - получается первый минимум.

рис. 3.3.22, г

Первый максимум получается при .

В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на .

Строя последовательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность диаметра . Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов.

В итоге получится следующее соотношение:

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели до экрана, лучи, идущие в точку от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке и нормалью к плоскости щели.

Установим количественный критерий, позволяющий определить, какой вид дифракции будет иметь место в каждом конкретном случае.

Найдем разность хода лучей от краев щели до точки (рис.3.3. 22). Применим теорему косинусов к треугольнику со сторонами , и :

После несложных преобразований получим

Нас интересует случай, когда лучи, идущие от краев щели в точку , почти параллельны. При этом условии , поэтому в последнем уравнении можно пренебречь слагаемым . В этом приближении

. (3.3.6)

В пределе при получается значение разности хода , совпадающее с выражением, фигурирующим в формуле (3.3.3).

При конечных характер дифракционной картины будет определяться соотношением между разностью , и длиной волны .

Если

, (3.3.7)

дифракционная картина будет практически такой, как в случае дифракции Фраунгофера.

При имеет место дифракция Френеля. В этом случае, согласно (3.3.6)

( - расстояние от щели до экрана).

Тогда из (3.3.7) или.

Таким образом,

характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра .

Если этот параметр

много меньше единицы, наблюдается дифракция Фраунгофера,
порядка единицы - дифракция Френеля;
много больше единицы, оказывается применимым приближение геометрической оптики.

Для удобства сопоставлений представим сказанное в следующем виде:

Параметру можно дать наглядное истолкование.

Возьмем точку , лежащую против середины щели (рис. 3.3.23). Для этой точки число открываемых щелью зон Френеля определяется соотношением

Раскрыв скобки и отбросив слагаемое, пропорциональное , получим

Таким образом, параметр непосредственно связан с числом открытых зон Френеля (для точки, лежащей против середины щели).

Если щель открывает малую долю центральной зоны Френеля , наблюдается дифракция Фраунгофера. Распределение интенсивности в этом случае изображается кривой, приведенной на рис.3.3. 22.
Если щель открывает небольшое число зон Френеля , на экране получается изображение щели, обрамленное по краям отчетливо видимыми светлыми и темными полосами.
когда щель открывает большое число зон Френеля , на экране получается равномерно освещенное изображение щели, лишь у границ геометрической тени имеются практически неразличимые глазом очень узкие чередующиеся более светлые и более темные полосы.

Проследим за видоизменениями картины при удалении экрана от щели. При небольших расстояниях экрана от щели (когда ) изображение соответствует законам геометрической оптики. Увеличивая расстояние, мы придем сначала к френелевской дифракционной картине, которая затем перейдет во фраунгоферову картину. Та же последовательность превращений наблюдается в том случае, если, не изменяя расстояния , уменьшать ширину щели .

Из сказанного ясно, что критерием применимости геометрической оптики является не малость длины волны по сравнению с характерным размером преграды (например, шириной щели), а значение параметра (он должен быть много больше единицы). Пусть, например, оба отношения и равны 100. В этом случае , однако =1 и, следовательно, будет наблюдаться отчетливо выраженная френелевская дифракция.