ПРОБЛЕМА НЕПРЕРЫВНОСТИ И АРИСТОТЕЛЕВСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗЕНОНОВЫХ «ПАРАДОКСОВ БЕСКОНЕЧНОСТИ»

С рассмотрением проблемы непрерывности мы вступаем на ту территорию, которая уже до Аристотеля не раз обследовалась в античной философии. Это — та самая чреватая противоречиями и парадоксами почва, которую «вскопал» еще Зенон. В своем стремлении создать науку о природе Аристотель пытается разрешить парадоксы бесконечности и строит свою теорию континуума, которая, по его замыслу, должна служить фундаментом для создания науки о движении. И нужно сказать, что фундамент этот оказался достаточно крепким: на нем возводила свои постройки не только физика античности и средних веков, но и физика Нового времени. Многое было пересмотрено в аристотелевской физике учеными XVI-XVII вв.; были отвергнуты не только основные категории, с помощью которых Аристотель описывал движение, но был введен совершенно новый принцип объяснения движения — принцип инерции, так что физику Нового времени ее создате

ли — Галилей, Декарт, Ньютон — рассматривали как неаристотелевскую. Но при этом осталось в силе аристотелевское учение о непрерывности2, и это даже несмотря на то, что в физике нового времени играли важную роль атомистические представления, в корне чуждые Аристотелю. Конечно, аристотелевская теория континуума, оказавшись включенной в новую систему понятий, получила также и новое математическое обоснование в виде исчисления бесконечно малых, но ее принципы в основе своей сохранились3.

Теория континуума Аристотеля служит фундаментом не только физики, но и математики; но сама по себе проблема континуума выходит за рамки любой из частных наук, ибо ее природа — логико-онтологическая. Именно так рассматривает эту проблему и Аристотель.

Аристотель отличает «непрерывность» как определенную форму связи от других форм: последовательности и смежности. «Следующим по порядку, — пишет Аристотель, — называется предмет, находящийся за начальным по расположению или по природе, или отделенный от него другим способом, если между ним и тем, за чем он следует, не находится в промежутке предметов того же рода, например, линии или линий в случае линии, монады или монад в случае монады, дома в случае дома. Но ничто не препятствует находиться в промежутке чему-нибудь иному... "Смежное" есть то, что, следуя за другим, касается его. "Непрерывное" есть само по себе нечто смежное; я говорю о непрерывном, когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же, и, как показывает название, не прерывается...» (Физика, V, 3, 226b-227а). Таким образом, следующее по порядку, смежное и непрерывное идут друг за другом по принципу возрастания связи между соответствующими предметами. Следование по порядку — необходимое, но не достаточное условие смежности, так же как смежность — условие непрерывности. Различие между смежным и непрерывным особенно важно: если предметы соприкасаются, но при этом сохраняют каждый свои края, так что две соприкасающиеся границы не сливаются в одну, то мы имеем дело со смежностью; если же граница между соприкасающимися предметами становится об

-94-

щей, то они становятся чем-то единым, и тут уже речь идет о непрерывности. Итак, непрерывным является то, концы чего образуют единое.

Непрерывными могут быть не только предметы, но и движения. Более того, подлинно непрерывно то, что непрерывно по движению, говорит Аристотель. Чтобы движение было непрерывным, должны быть выполнены три условия: единство (тождественность) вида движения, единство движущегося предмета и единство времени.

Давая определение непрерывности, Аристотель решает логико-философскую проблему античности, поставленную Зеноном. Непрерывное, по определению Аристотеля, это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что непрерывное исключает какие бы то ни было неделимые части, и уж тем более не может быть составлено из неделимых. «Невозможно ничему непрерывному состоять из неделимых частей, например, линии из точек, если линия непрерывна, а точка неделима» (Физика, VI, 1, 231а). Аристотель аргументирует свой тезис, просто раскрывая содержание понятий «непрерывного» как имеющего части, всегда в свою очередь состоящие из частей, и неделимого, которое вообще не состоит из частей. Не состоящее из частей не может и касаться другого такого же (не состоящего из частей), ибо само понятие соприкосновения уже заключает в себе условие делимости на части: соприкасается то, что делимо, ибо только у делимого края могут находиться вместе. У неделимого нет краев, поэтому неделимые не могут соприкасаться по определению. В непрерывном же «крайние концы образуют единое и касаются» (Физика, VI, 1, 233b), а потому, естественно, непрерывное не может состоять из неделимых.

Именно непрерывность является условием возможности движения. Учение о непрерывности является ответом Аристотеля на парадоксы Зенона. Как показал уже Зенон, движение определяется прежде всего через путь и время. Если либо путь, либо время, либо то и другое мыслить как состоящие из неделимых (путь — из неделимых точек, а время — из неделимых моментов «теперь»), то движение окажется невозможным. Именно доказательству невозможности движения при допущении неделимости посвящены апории Зенона «Стрела» и «Стадий».

-95-

«По неделимому пути, — пишет Аристотель, — ничто не может двигаться, а сразу является продвинувшимся» (Физика, VI, 1, 232а). В этом случае и движение должно мыслиться не как непрерывное, а, соответственно, как состоящее из неделимых — уже нельзя сказать «движений», а «моментов продвинутости»; ибо движение при таком условии перестанет быть процессом, а станет «суммой результатов».

Чтобы избежать этого парадокса и получить возможность мыслить движение именно как процесс, а не как сумму «продвинутостей», Аристотель и постулирует непрерывность пути, времени и, соответственно, самого движения. Тем самым апории «Стрела» и «Стадий» оказываются обезвреженными.

Но этим еще дело не исчерпывается: ведь если две апории Зенона строятся на том допущении, что время и пространство состоят из неделимых, то две других — «дихотомия» и «Ахиллес» — на допущении их бесконечной делимости. Это допущение тоже приводит к противоречию: Зенон доказывает, что при бесконечной делимости времени и пространства движение тоже невозможно мыслить. Из этого второго затруднения Аристотель предлагает выйти следующим образом. Если тело движется по определенному пути, который в силу его непрерывности делим до бесконечности, то движение будет невозможным (ибо невозможно пройти бесконечность) только при условии забвения того, что и время, в течение которого тело проходит этот путь, тоже делимо до бесконечности. А если учесть, что непрерывности пути соответствует непрерывность времени, то парадокс снимается. «Поэтому, — резюмирует Аристотель, — ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время. Ведь длина и время, как и вообще все непрерывное, называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления или в отношении границ4. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно делению — возможно, так как само время в этом смысле бесконечно. Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконечное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного

-96-

множества частей бесконечным, а не ограниченным множеством» (Физика, VI, 2, 233а).

Итак, условиями возможности (и мыслимости) движения являются непрерывность длины (пути), времени и самого движущегося тела — оно ведь тоже имеет величину, а не есть неделимая точка.

Однако и теперь еще аристотелевская теория движения не вполне «спасена» от парадоксов, вскрытых проницательным Зеноном. Остается еще один уязвимый пункт, а именно: поскольку всякое движение и изменение происходит во времени, а всякий отрезок времени, как бы мал он ни был, в силу своей непрерывности делим до бесконечности, то движение никогда не сможет начаться. Одним словом, та трудность, которую Аристотель преодолел по отношению к процессу уже совершающегося движения (указав на то, что «время и величина делятся одними и теми же делениями»), остается в силе по отношению к моментам перехода от покоя к движению или от движения к покою. Тут теория непрерывности действительно наталкивается на «неудобный» для нее факт: переход всегда предполагает перерыв.

Решая это затруднение, Аристотель высказывает, на первый взгляд, парадоксальное, но логически совершенно необходимое положение: «Ни в том, что изменяется, ни во времени, в течение которого оно изменяется, нет ничего первого» (Физика, VI, 5, 236а). Это утверждение имеет силу по отношению ко всём видам движения (изменения), кроме изменений качественных: в последних Аристотель как раз видит исключение в том смысле, что «в движении по качеству может быть само по себе неделимое» (Физика, VI, 5, 236b)5. Это соображение Аристотеля послужило впоследствии толчком к разработке в Средние века учения об интенсификации и ремиссии качеств, учения, которое в конечном счете оказывалось несовместимым с принципами аристотелевской физики и выводило за ее пределы, подготовляя тем самым научную революцию XVI-XVII вв.

Итак, ответ Аристотеля на вопрос о том, как возможно мыслить начало движения и изменения, гласит: такое начало мыслить невозможно в силу бесконечной делимости всякой величины и всякого времени. Первого момента ни

-97-

когда нельзя схватить, ибо «момент» означал бы нечто неделимое. Ничто, таким образом, не происходит «вдруг». Как справедливо отмечает В.П. Зубов, «мгновенные действия в перипатетической физике были исключены»6. Что же касается «конца» изменения, то опять-таки кроме изменений по качеству, имеющих такой конец, никакой другой вид движения не имеет «первого в отношении конца».

Учение о непрерывности, как видим, требует последовательности: не признавая неделимости применительно к величине, времени и движению, Аристотель вынужден допустить отсутствие первого и последнего моментов. Этот принцип «отсутствия первого» находит свое оправдание в космологии Аристотеля: в полном соответствии с этим принципом Аристотель не признает ни начала, ни конца мира; ни время, ни движение не могли иметь начала, так же как никогда не будут иметь конца.

Но если величина и время непрерывны, то что же тогда представляют собой точка на линии и момент во времени, который мы называем «теперь»? Точка на линии и, аналогично, «миг» на непрерывной «линии» времени, называемый нами «теперь», являются неделимыми; но будучи таковыми, они принципиально разнородны со всем, что делимо: точка — с линией, а «теперь» — с временем. Точка не имеет величины; она есть граница линии; точно так же «теперь» не есть время, а есть граница времени. «Необходимо, — пишет Аристотель, — чтобы «теперь», взятое не по отношению к другому, а само по себе, первично, было неделимым... Ведь оно представляет собой какой-то крайний предел прошедшего, за которым нет еще будущего, и обратно, предел будущего, за которым нет уже прошлого, что ... является границей того и другого» (Физика, VI, 3, 233b-234а).

Поскольку «теперь» неделимо, то в момент «теперь» нет никакого движения, что логически вытекает из вышеизложенного. Но и покой, говорит Аристотель, в «теперь» тоже невозможен, ибо как покой, так и движение, будучи непрерывными состояниями, могут существовать только во времени, поскольку оно тоже непрерывно. Из этого с необходимостью следует, что неделимая точка не может двигаться; ведь двигаться неделимое могло бы только при условии, если бы можно было двигаться в неделимые мгно

-98-

вения — из одного «теперь» в другое «теперь»; в «теперь» невозможно ни движение, ни покой. Значит, двигаться и изменяться может только то, что само имеет величину (а значит, делимо); только такие объекты и подлежат изучению физики — науки о движении и изменении.

Аристотелевское учение о непрерывности имеет также непосредственный выход в математику. Принцип непрерывности был введен в математику старшим современником Аристотеля Евдоксом в виде так называемой «аксиомы непрерывности», которую мы находим среди определений V книги «Начал» Евклида, где излагается теория отношений Евдокса7.

Четвертое определение V книги «Начал» гласит: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»8.

Вот как формулирует Аристотель евдоксову аксиому непрерывности, недвусмысленно показывая, что альтернативой ее будет парадокс Зенона «дихотомия»: «Если, взявши от конечной величины определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определенной величиной» (Физика, III, 6, 206b). Как видим, аристотелевская физика, построенная на основе принципа непрерывности, внутренне связана с математическим мышлением, как оно воплотилось в «Началах» Евклида.

Часть 4.