Понятие бесконечного принадлежит к числу тех категорий, которые играют определяющую роль как в философии, так и в науке, подобно таким понятиям, как число, пространство, время, движение, непрерывное и неделимое и др. Изменение в трактовке этих понятий, смысл которых связан с культурно-историческим контекстом той или иной эпохи, влечет за собой перемены в характере научного мышления, в принципах научных программ и научных теорий. Так, для античной науки принципиально важным является представление о конечности космоса, играющее важную роль не только в астрономии, но и в физике, и в математике, и в философии древних. И когда в эпоху Возрождения на смену конечному космосу приходит представление о бесконечной вселенной, то меняются не только принципы астрономии, но постепенно формируется и новая физика — механика, и новая математика — дифференциальное исчисление, первоначально базировавшееся на понятии бесконечно малого.
В этой главе мне хотелось бы показать, что то изменение в понимании категории бесконечного, которое произошло в XV-XVII вв., было подготовлено в средние века и в значительной мере обязано своим появлением христианству.
Остановимся сначала на понимании бесконечного в античной философии и науке. Впервые это понятие обсуждается в школе элеатов: элеец Зенон вводит понятие актуально бесконечного и пытается показать, что допущение актуально бесконечного ведет к апориям — парадоксам, противоречиям. Кратко смысл зеноновых парадоксов передает Аристотель: «Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие затруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движения на том основании, что перемещающееся тело должно сначала дойти до середины, чем до конца... Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо, более медленное в беге, никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество... Третье... заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно: оно вытекает из предположения, что время слагается из отдельных «теперь»... Четвертое рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью, одни — с конца ристалища, другие — от середины, в результате чего, по его мнению, получается, что половина времени равна его двойному количеству» (Физика, VI, 9). Апории «Дихотомия» и «Ахиллес» предполагают допущение бесконечной делимости пространства, которое в силу этого, согласно Зенону, не может быть пройдено до конца ни в какое конечное время, тогда как «Стрела» и «Стадий» построены на том, что время и пространство состоят из бесконечного множества неделимых моментов времени и точек пространства.
Чтобы создать науку о движении — физику, Аристотель должен доказать возможность мыслить движение без противоречия. Для этого он вводит принцип непрерывности. Непрерывность — это определенный тип связи элементов системы, отличный от других форм связи — последовательности и смежности. Следование по порядку — условие смежности, а смежность — предпосылка непрерывности. Если предметы соприкасаются, но при этом сохраняют каждый свои края, то мы имеем дело со смежностью; если же граница двух предметов оказывается общей, то налицо — непрерывность. «Я говорю о непрерывном, — пишет
-140-
Аристотель, — когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становится для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается...» (Физика, V, 3).
Непрерывное, по Аристотелю, — это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что непрерывное не может быть составлено из неделимых. Таким путем Аристотель разрешает те трудности, которые возникают при допущении, что пространство и время состоят из бесконечного множества «неделимых», и получает возможность мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Непрерывность является условием возможности движения и условием его мыслимости. Что касается двух первых апорий — «Дихотомии» и «Ахиллеса», основанных на предположении бесконечной делимости времени и пространства, то их Аристотель разрешает иначе: если любой отрезок пути в силу его непрывности делим до бесконечности, то движение окажется невозможным лишь при забвении того, что и время, в течение которого тело проходит этот путь, тоже непрерывно, т. е. до бесконечности делимо.
Принцип непрерывности Аристотеля по своему содержанию в сущности совпадает с аксиомой отношения Евдокса — одним из фундаментальных положений греческой математики, которое называют также аксиомой Архимеда. Ее формулирует Евклид в четвертом определении V книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»1. Вот как Аристотель разъясняет принцип отношения Евдокса, показывая, что этот принцип устраняет зенонов парадокс «Дихотомия»: «Если, взявши от конечной величины определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т. е. не ту же самую величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определенной величиной» (Физика, III, 6). Вероятно, теория отношений Евдокса родилась как способ установить отношения также и между несоизмеримыми величинами. Пока не была обнаружена несоизмеримость, отношения могли выражаться целыми числами: для определе
-141-
ния отношения двух величин меньшую брали столько раз, сколько необходимо, чтобы она сравнялась с большей. Но отношения между несоизмеримыми величинами не могут быть выражены в виде пропорции целых чисел. Чтобы получить возможность установления отношений между несоизмеримыми величинами, Евдокс предложил такой выход: если для двух величин А и В, где А>В, можно подобрать такое число N, чтобы было справедливо неравенство NB>A, то величины А и В находятся между собой в некотором отношении. В противном же случае они не находятся в отношении, что действительно имеет место там, где приходится иметь дело с бесконечно малыми величинами, которые были известны греческим математикам в виде, например, роговидных углов, образованных прямой и дугой круга или двумя дугами: роговидные углы не имеют отношения с прямолинейными углами, они меньше любого прямолинейного угла.
Принцип отношения имеет применение и в греческой астрономии, тоже не признающей актуально бесконечного. Вот характерное рассуждение Архимеда: «Аристарх Самосский выпустил в свет книгу о некоторых гипотезах, из которых следует, что мир гораздо больше, чем понимают обычно. Действительно, он предполагает, что неподвижные звезды и Солнце находятся в покое, а Земля обращается вокруг Солнца по окружности круга, расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сфера неподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг, по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится к расстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошо известно, что это невозможно: так как центр не имеет никакой величины, то нельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы. Надо поэтому думать, что Аристарх подразумевал следующее: поскольку мы подразумеваем, что Земля является как бы центром мира, то Земля к тому, что мы назвали миром, будет иметь то же отношение, какое сфера, по которой, как думает Аристарх, обращается Земля, имеет к сфере неподвижных звезд»2.
Как видим, Архимед не допускает отношения между какой-либо величиной и тем, что величины не имеет (т. е. на
-142-
нашем языке — нулем), а значит, не допускает бесконечности. Интересно, что хотя в эпоху Архимеда наука оперировала очень большими величинами, что можно видеть, например, в работе Архимеда «Исчисление песчинок», однако при этом она никогда не принимала актуально бесконечного. Число песчинок, даже если предположить, что они заполнили бы не только Землю, но и весь космос, достигнув сферы неподвижных звезд, не было бы бесконечным: как доказывает Архимед, это было бы очень большое, но конечное число.
Таким образом, ни античная физика, ни математика, включая и астрономию, не принимает понятия актуальной бесконечности и пользуется только понятием потенциально бесконечного, т. е. бесконечно делимого, которое, «будучи проходимым по природе, не имеет конца прохождения, или предела» (Физика, III, 6). Наиболее понятный пример потенциально бесконечного — беспредельно возрастающий числовой ряд, ряд натуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечной величиной. Потенциально бесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение по конечному. Это получает осмысление и в греческой философии, которая определяет бесконечное как возможное, а не действительное, материю, а не форму, становление, а не бытие. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотель определяет бесконечное как то, вне чего всегда что-то есть. А может ли существовать нечто такое, вне чего больше ничего нет? И если да, то как его назвать? «Там, где вне ничего нет, — говорит Аристотель, — это законченное и целое: это то, у которого ничто не отсутствует, например, целое представляет собой человек или ящик... Целое и законченное или совершенно одно и то же, или сродственны по природе; законченным не может быть ничто, не имеющее конца, конец же — граница» (Физика, Ш, 6). Бесконечное — это материя, т. е. всего лишь возможность, в ее античном понимании — нечто вполне неопределенное, не имеющее в себе связи, лишенное всякой структуры. Целое же — это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающая актуально сущим, действительным, т. е. бытием, — это форма. У всякого живого существа, являющегося целым, формой является его душа.
-143-
Аристотель мыслит вполне в духе греческой философии, которая со времен пифагорейцев и элеатов противопоставляла беспредельному предел, границу. У пифагорейцев пределу соответствует единое, свет, хорошее; беспредельному, бесконечному — многое, тьма, дурное и т.д. У элеатов беспредельное вообще сведено к небытию, ибо бытие тождественно единому как началу предела и формы. У Платона беспредельное — это темное, текучее, изменчивое, неопределенное начало — материя. В сущности, бесконечное у большинства греческих мыслителей отождествляется с древним, идущим от античной мифологии хаосом, которому противостоит космос — оформленное и упорядоченное целое, причастное пределу. Не случайно же космос у греков конечен.
В средние века научное мышление развивается в новой культурно-исторической обстановке, определяемой прежде всего христианством. Природа рассматривается теперь как творение трансцендентного Бога, лишенное своей самостоятельности. И хотя Средневековье унаследовало науку античности — математику, астрономию, физику, но оно внесло существенные коррективы прежде всего в такие фундаментальные понятия, как бесконечное и конечное, целевая и действующая причины, естественное и искусственное и др. Как же меняется в христианской теологии и философии отношение к бесконечности? Трансцендентность христианского Бога, его внеприродность, его личный характер предполагают рассмотрение Его в новых по сравнению с античностью категориях — категориях воли и бесконечного могущества.
Если беспредельное у греков есть атрибут хаоса, лишенного формы, то в Средние века бесконечное становится атрибутом высшей реальности — Божества. Не случайно Дуне Скот (XIII в.) подчеркивал, что бесконечное есть самый совершенный предмет постижения3. Возникает острый интерес к проблеме возможного, встающий все чаще на место характерного для языческой Греции уважения к тому, что есть, к действительному. Отсюда характерное для многих средневековых мыслителей обращение к «воображаемым допущениям» в самых разных областях исследования. Оперирование с так называемой «воображаемой реальностью» имело место и в античности — в матема
-144-
тике и в астрономии, в частности у Птолемея. Античные комментаторы принимали птолемеевы эпициклы и деференты в качестве «воображаемых фикций», однако в реальной космологии и физике сохранялись принципы Аристотеля, и «фикции» были недопустимы. Средневековые ученые XIII-XIV вв. идут значительно дальше этого, ставя под вопрос фундаментальные понятия античной физики. Так, Генрих Гентский (XIII в.), соглашаясь с Аристотелем в том, что природа не терпит пустоты (Аристотель не признает пустоты именно потому, что движение в пустоте должно было бы происходить с бесконечной скоростью, что невозможно), в то же время обсуждает возможность создания пустоты с помощью божественного всемогущества. «Может ли Бог сделать так, чтобы пустота существовала?» — спрашивает он. И хотя в конечном счете Генрих приходит к выводу о невозможности пустоты, но аргументация его уже не связана с аристотелевским «запретом бесконечности ».
Средневековых мыслителей волновал также вопрос, как совместить идею конечного замкнутого космоса с бесконечностью божественного всемогущества. К этой проблеме обращается Ричард из Мидлтауна (XIII в.). «Может ли Бог, — рассуждает он, — заставить последнее небо двигаться прямолинейным движением? По-видимому, нет, ибо всякое прямолинейное движение тела происходит от одного места к другому. Но, согласно Аристотелю, последнее небо не находится ни в каком месте (Физика, IV), и, согласно 1 книге «О небе», вне последнего неба нет ни места, ни заполненности, ни пустоты. Следовательно, невозможно, чтобы Бог двигал последнее небо прямолинейным движением»4.
Прямолинейное движение, которое Ричард «вообразил» себе, будь оно и в самом деле принято в средневековой науке, полностью разрушило бы конечный, завершенный в себе космос античной физики и космологии. Ричард из Мидлтауна не сделал того шага, который осуществила новая наука в XV-XVI вв. Но дальше Ричарда в этом направлении пошел Фома Брадвардин (XIV в.), обсуждая проблему божественного всемогущества, «Бог присутствует необходимо везде, — пишет он, — не только в мире и во всех его частях, но и вне мира в месте или в воображаемой бес
-145-
конечной пустоте... Откуда с ясностью следует, что может существовать пустота без тела, но никоим образом не может быть пустоты без Бога»5.
Это рассуждение позволяет наглядно увидеть связь определенных научных допущений с предпосылками средневекового христианского сознания: поскольку Бог вездесущ, то он присутствует не только в мире, но и там, где нет мира и вещей, — в бесконечной пустоте. Пустота, стало быть, это то «место», где нет ничего, кроме божественного присутствия. Так «ничто» приобретает онтологическую значимость, начинает существовать.
Брадвардин был не только теологом, но и математиком. Считая необходимым привести доказательство своего утверждения, он рассуждает следующим образом: «Для доказательства я предполагаю, что А есть фиксированное воображаемое место этого мира, а В — одновременно с ним воображаемое место вне мира, находящееся на некотором расстоянии от А. Во-вторых, я предполагаю, что Бог движет мир из А в В... Отсюда следует, что Бог теперь находится в В независимо от того, был ли Он там раньше или нет. Если Он там был, то Он был и теперь находится в воображаемом пространстве вне мира. Следовательно, Он ушел из точки А и достиг точки В, отделенной от А известным промежутком, т. е. совершил движение перемещения. Сторонники Философа (Аристотеля. — П.Г.) не признают движения Бога из точки А в мире в точку В вне мира, ибо это движение не вверх, не вниз и не круговое, а значит, оно невозможно. Но Бог всемогущ, следовательно, Он может создать мир в точке В, а стало быть, и двигаться туда»6.
Всемогущество Бога служит, таким образом, средством отмены тех запретов, которые составляют сущность античной физики: запрета допускать пустоту, мыслимую как «место» или пространство вне мира, запрета допускать прямолинейное движение «не вверх» и «не вниз», а за пределы мира, которое в сущности означает отмену конечного космоса с его системой абсолютных мест. В лице Брадвардина средневековая наука впервые опирается в космологических (пока только воображаемых) построениях на догмат о трансцендентном всемогущем Боге христианской теологии. Бог абсолютно совершенен, пишет Брадвардин,
-146-
а потому он одновременно находится везде. Эта вездесущность Бога, будучи переведена на космологический язык, предстает в виде возможного, т. е. воображаемого, бесконечного пространства. На протяжении XIII-XV вв. идет неуклонная работа по расшатыванию главного предубеждения, лежавшего в основе всей античной науки и античного мировосприятия вообще, — предубеждения против бесконечности как позитивного начала. Под сомнение ставится не только аристотелевское положение о невозможности существования пустоты, поскольку скорость тела в пустоте должна быть бесконечной, но и аристотелевское утверждение о невозможности существования бесконечно большого тела, а тем самым и бесконечного космоса.
Джон Баконторп (XIV в.) глубоко убежден в том, что Бог в силу Его абсолютного всемогущества может создать актуально бесконечное. Еще раньше Баконторпа, в XIII в. оксфордский теолог и ученый Роберт Гроссетест подверг критике тезис Аристотеля о том, что актуально бесконечное не может ни существовать, ни быть мыслимым без противоречия. Гроссетест считал, что актуально бесконечное есть certus numerus — «определенное число», которое хотя и непознаваемо для человеческого разума, но тем не менее реально и познаваемо для Бога. По убеждению Гроссетеста, одно актуально бесконечное может быть больше или меньше другого7. Гроссетест рассматривает актуально бесконечное на примере времени: он считает величину времени составленной из бесконечного множества «моментов времени». Именно актуально бесконечное число моментов есть, по Гроссетесту, истинная мера времени, но ее знает только Бог и с ее помощью Он измеряет все времена. Так же рассуждает Гроссетест и по поводу пространственной величины. «Бесконечное число точек во всех линиях длиной в локоть — одно, и этим числом самым достоверным и определенным образом Бог измерил все линии длиной в локоть»8. Опровергая Аристотеля, признававшего только потенциальную бесконечность, Гроссетест настаивает на том, что актуально бесконечное — это необходимое условие возможности потенциально бесконечного, непрерывного. «Величина какой-либо линии не становится известной из того, что она содержит четыре раза свою четвертую часть или пять раз свою пятую, ибо мы знаем лишь это
-147-
о всякой величине, а (истинной) меры мы так и не знаем. Ведь надо знать величину этой части, а ее можно узнать лишь с помощью ее (этой части) простого и неделимого (элемента). Поэтому совершенная мера непрерывного количества не может быть найдена иначе, кроме как с помощью неделимого (элемента) этого количества, например с помощью точки, и никакая величина не может быть в совершенстве измерена, если не известно, сколько неделимых точек она содержит. А так как их бесконечно много, то тварь знать их не может, а может знать один только Бог, который все устроил в числе, мере и весе»9.
Таким образом, теологи и ученые уже в XIII-XIV вв. подготовили предпосылки для оперирования понятием актуальной бесконечности, которое сыграло важную роль в становлении новоевропейского естествознания и философии. Христианство, как видим, подготовило тот пересмотр принципов античной математики, астрономии и физики, который был осуществлен в XVI-XVII вв.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Евклид. Начала. Кн. I-VI. М., 1949. С. 142.
2 Архимед. Сочинения. М., 1962. С. 358-359.
3 «... Бога в отношении Его понятия и Его бытия есть совершеннейшее постижимое и совершеннейшее из того, что мы можем знать о Боге» (Блаженный Иоанн Дуне Скот. Избранное. Составление и общая редакция Г.Г. Майорова. М., 2001, С. 201. — Перевод И.В. Лупандина и И.В. Мамсурова).
4 Clarissimi theologi Riccardi de Mediavilla Super quattor libros sententiarum questiones subtilissimae, Brixiae, MDXCI, livre 1. II, dist. XIII, art. 3. qu. 3, p. 186a.
5 Thomae Bradwardini Archiepiscopi Olim Cantuarensis. De Causa Dei contra pelagium et de virtute causarum ad suos Mertonenses Libri tres. Londini, MDXYIII, in.-fol., 1.5, p. 177.
6 Ibid. P. 178-189.
7 «...Существуют бесконечности, большие других бесконечностей, и бесконечности, других бесконечностей меньшие» (Роберт Гроссетест, «О свете, или О начале форм ». Перевод A.M. Шишкова // « Знание и традиции в истории мировой философии». Составители Н.Н. Трубникова и Н.Н. Шульгин. — М., РОССПЭН, 2001. С. 174).
8 Цит. по книге: MaierA. Metaphysische Hintergrunde der spatscholastischen Naturphilosophie. Roma, 1955. S. 118.
9 Ibid. S. 400.
-148-
Глава II
Поможем написать любую работу на аналогичную тему