ПРИНЦИП НЕПРЕРЫВНОСТИ В АНТИЧНОЙ ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ

Как известно, элеец Зенон пытался доказать, что ни множественность, ни движение невозможно мыслить без противоречия. В основе апорий Зенона лежит допущение актуальной бесконечности, которое, собственно, и приводит к противоречию всякий раз, когда речь идет о множественности и движении.

Выше мы уже рассматривали четыре апории Зенона — «Дихотомия», «Ахиллес», «Стрела» и «Стадий», как их излагал Аристотель в «Физике», VI, 92.

Как мы помним, апории «Дихотомия» и «Ахиллес» исходят из допущения бесконечной делимости пространства, которое, в силу этого, невозможно пройти до конца. Напротив, «Стрела» и « Стадий» основаны на допущении актуально бесконечного множества неделимых «моментов» времени и «точек» пространства.

Поскольку Аристотелю необходимо доказать мыслимость движения без противоречия, —в противном случае физика как наука о движении невозможна, — он вводит принцип непрерывности, играющий фундаментальную роль в его научной программе. Непрерывность, по Аристотелю, есть определенный тип связи элементов системы, отличный от последовательности и смежности. Важно уяснить различие между смежным и непрерывным: если предметы соприкасаются, но при этом сохраняют каждый свои края, так что соприкасающиеся границы не сливаются в одну общую, то мы имеем дело со смежностью; если же граница двух предметов (отрезков линии, «частей времени» И т. д.) является общей, то тут речь идет о непрерывности3.

Непрерывными, по Аристотелю, могут быть не только части пространства и времени, но и движения; более того, подлинно непрерывным он считает то , что непрерывно по движению4. Чтобы движение было непрерывным, должны быть выполнены три условия: единство (тождественность) вида движения, единство движущегося предмета и единство времени.

Из определения непрерывного вытекает, что оно делится на части, делимые до бесконечности и, стало быть,

-266-

не может состоять из неделимых. Таким образом, Аристотель разрешает апории Зенона «Стрела» и «Стадий». Остаются, однако, две первых апории — «Дихотомия» и «Ахиллес», основанные на допущении бесконечной делимости пространства и времени. Здесь для разрешения противоречия Аристотель действует иначе. Если любой отрезок пути в силу его непрерывности делим до бесконечности, то трудность устраняется, если учесть, что непрерывности пути соответствует непрерывность времени. «Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время. Ведь длина и время, как и вообще все непрерывное, называются бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении границ. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного согласно делению — возможно, так как само время в этом смысле бесконечно. Следовательно, приходится проходить бесконечность в бесконечное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества частей бесконечным, а не ограниченным множеством»5.

Аристотелево определение непрерывности базируется на тех же предпосылках, что и принцип отношений Евдокса, получившей название также аксиомы Архимеда и сформулированной Евклидом в четвертом определении V книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга»6. Аристотель полностью принимает евдоксов принцип отношений, который по существу разрешает парадокс «Дихотомия»7.

Аристотель, как и греческая математика, не принимает понятия актуальной бесконечности. Он пользуется только понятием потенциально бесконечного, т. е. бесконечно делимого, которое, «будучи проходимым по природе, не имеет конца прохождения, или предела»8.

Сказать, что бесконечное существует только как потенциальное, а не как актуальное — значит сказать, что оно становится, возникает, а не есть нечто законченное, завершенное, не есть бытие. Пример потенциально бесконечного — это беспредельно возрастающий числовой ряд, ряд

-267-

натуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечной величиной. Потенциально бесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение по конечному. Принцип непрерывности, как его сформулировал Аристотель, базируется на понятии потенциально бесконечного.

Бесконечное, таким образом, есть, по Аристотелю, возможное, а не действительное, материя, а не форма: не случайно же материю Аристотель понимает как возможность. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотель определяет бесконечное, как то, вне чего еще всегда что-то есть9.

Бесконечное — это материя, т. е. в ее аристотелевском понимании нечто неопределенное, не имеющее в себе связи и лишенное всякой структуры. Целое же — это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающая чем-то актуально сущим, действительным, — это форма. Именно потому, что началом актуально сущего является форма, а форма есть предел, начало цели (она же — « конец», граница), он отвергает возможность актуально бесконечного: такое понятие является, по Аристотелю, как, впрочем, и по Платону, самопротиворечивым.