Работа над обоснованием математического знания сыграла существенную роль в становлении идеализма Платона; о том, насколько принципиальным был вопрос о природе математики для Канта, хорошо известно. Однако не менее известно и то, насколько различными оказались концепции математического знания у обоих философов, и это различие мешало разглядеть то общее, что составляет важный момент философии математики у этих мыслителей, один из которых стоял у истоков «Начал» Евклида1, а другой, фигурально выражаясь, почти у «конца» евклидовой геометрии, если принять во внимание, что спустя немногим более полувека после смерти Канта эта геометрия потеряла свое прежде абсолютное значение и стала лишь одной из возможных наряду с геометрией Римана и Лобачевского.
Развитие греческой математики в VI и V вв. до н. э. в первую очередь связано с пифагореизмом. У пифагорейцев мы находим новое — по сравнению с восточной математикой — понимание числа и числовых соотношений, а в связи с этим и новое представление о задачах математической науки: с помощью чисел пифагорейцы не просто решают практически-прикладные задачи, а пытаются объяснить природу всего сущего. Однако у пифагорейцев мы не находим логико-онтологического обоснования числа. Как свидетельствует Аристотель, они отождествляли числа с вещами. «...Пифагорейцы признают одно — математическое — число, только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них это — не числа, состоящие из (отвлеченных) единиц, но единицам они приписывают (пространственную) вели
-295-
чину; а как получилась величина у первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них»2.
Вместе с развитием критицизма и появлением скептических мотивов — сперва у элеатов3, а позднее в более резкой форме — у софистов — возникает настоятельная потребность уяснить логическую природу и онтологический статус числа, а тем самым и природу той связи, которая существует между «числами и вещами». Поскольку софисты доказывали, что познание вообще носит субъективный характер, определяется особенностями познающего, то в этой ситуации проблема обоснования математики выступает в тесной связи с вопросом о возможности истинного знания вообще.
Решением обоих этих вопросов и занялся Платон. Математика служила для него образцом научного знания, а потому, идя от нее, он искал способа обоснования науки в целом. Вот как определяет Платон природу числа. «Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. — П.Г.): «Достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, — то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей ?» — как ты думаешь, что они ответят? — Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться»4. Еще более выразителен следующий отрывок: «... когда они (геометры. — П.Г.) вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором*5. Всякий чертеж, таким образом, есть лишь чувственное подобие некоторого идеального образования — в противном случае невозможно было бы говорить ни о равенстве отрезков (всякое равенство эмпирических предметов и их чувственных изображений является лишь приблизительным), ни об их соизмеримости.
-296-
Как видим, важнейшая характеристика числа — это его идеальность, в силу которой его «можно только мыслить». Ни числа, ни геометрические объекты — точка, линия, треугольник и т. д. — не существуют в эмпирической реальности, в мире чувственном: здесь мы имеем дело только с их «образными выражениями». Потому они как раз и вводят нас в сферу, в которую, по Платону, можно войти лишь с помощью мышления, а это, с точки зрения Платона, и есть сфера истинного бытия, всегда себе тождественного, вечно пребывающего, в отличие от изменчивого мира эмпирического становления.
Поэтому, согласно Платону, математика служит подготовкой мышления к постижению идей, которое осуществляется с помощью науки, стоящей выше математики, а именно диалектики. Математическое познание как бы посредине между «мнением», опирающимся на чувственное восприятие, и высшей формой знания — диалектикой, или философией. Поэтому Платон придавал большое значение математической подготовке своих учеников. «Не геометр — да не войдет» — гласила надпись у входа в Академию. Именно Платон впервые осуществил философскую рефлексию по отношению к числу и пришел к выводу, что оно имеет другой онтологический статус, чем чувственные вещи. После Платона стало уже невозможно говорить о том, что вещи состоят из чисел, не раскрывая смысла слова «состоят». Вот что по этому поводу говорит Аристотель: «Он (Платон. — П.Г.) полагает числа отдельно от чувственных вещей, а они (пифагорейцы. — П J1.) говорят, что числа — это сами вещи, и математические объекты в промежутке между теми и другими не помещают. Установление единого и чисел отдельно от вещей, а не так, как у пифагорейцев, и введение идей произошло вследствие исследования в области понятий (более ранние философы к диалектике не были причастны...)»7.
Говоря здесь о диалектике, Аристотель имеет в виду именно критическую рефлексию, размышление о природе самих понятий, чего действительно не было у философов-досократиков. Платоновский идеализм, таким образом, обязан своим возникновением не в последнюю очередь тому, что Платон пытался осмыслить процедуру идеализации как способа образования математических понятий
-297-
и пришел к необходимости допустить существование некоторого идеального мира, в котором обитают и числа. Тут, однако, следует оговорить, что в греческой математике число мыслилось совершенно иначе, чем в математике Нового времени8; для пифагорейцев, а также для Платона «действия и сущность числа должно созерцать по силе, заключающейся в декаде »д. Строго говоря, для Платона, как и для математиков-пифагорейцев его эпохи, числа — это числа до десяти, причем единица числом не является10. Эта оговорка существенна для адекватного понимания учения Платона об идеальной природе числа.
Как мы уже отмечали выше, понимание чисел как идеальных образований послужило логико-теоретической базой для греческой математики, прежде всего для Евклида11. Однако если это справедливо по отношению к VII книге «Начал», посвященной арифметике, то дело обстоит не так однозначно по отношению к геометрической алгебре, имеющей дело не с числами, ас геометрическими объектами. Последние образуются, по Платону, из чисел (которые суть идеальные образования) и некоторой материи — вот почему они могут быть квалифицированы как промежуточные вещи.
Но если объекты геометрии образуются из числа и материи, то чем же они отличаются от эмпирических вещей, которые ведь, по Платону, обязаны своим существованием тому, что материя «приобщается» к идеям?
В диалоге «Тимей» Платон различает три рода сущего: первый — идеальное бытие, постигаемое только мыслью, второй — мир чувственных вещей, воспринимаемых ощущением. Третий же род—пространство — Платон помещает как бы между ними: оно имеет признаки как первого, так и второго. А именно, подобно идее, пространство, по Платону, вечно, неизменно и постигается не через ощущение. Но сходство его со сферой чувственного в том, что оно постигается все же и не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы постигаем пространство, квалифицируется Платоном как «незаконное умозаключение»11.
Именно пространство и есть «материя», путем «соединения» которой с числом создаются, по Платону, геометрические объекты. Спустя более двух тысяч лет Кант обра
-298-
щается к вопросу о том, что такое пространство, и в той же связи, что и Платон, а именно в связи с задачей обоснования геометрии. Многолетние исследования приводят Канта к выводу, что математика является не аналитической наукой, положения которой с логической необходимостью выводятся из исходных посылок, имеющих опять-таки аналитический характер, а наукой, чьи суждения опираются на созерцание, т. е. являются синтетическими. Но для того чтобы математическое знание не утратило своей необходимости и всеобщности, необходимо допустить, что созерцание, о котором здесь идет речь, есть созерцание особого рода, отличающееся от эмпирического. Это — не созерцание вещей и явлений в пространстве и времени, а созерцание самого пространства и времени. Геометрия в своих построениях опирается, по Канту, на созерцание пространства, а арифметика — на созерцание времени; то и другое, пространство и время, суть априорные формы созерцания, которые являются условием возможности эмпирического созерцания. Мы здесь не будем касаться кантовского обоснования арифметики, которое столь же отличается от платоновского, как и в целом кантовский трансцендентальный идеализм — от объективного идеализма Платона12.
Остановимся на обосновании Кантом геометрии и на его учении о пространстве. «Геометрия, — пишет Кант, — есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori. Каким же должно быть представление о пространстве, чтобы такое знание о нем было возможно? Оно должно быть первоначально созерцанием, так как из одного только понятия нельзя вывести положения, выходящие за его пределы, между тем мы встречаем это в геометрии... Но это созерцание должно находиться в нас a priori, т. е. до всякого восприятия предмета, следовательно, оно должно быть чистым, не эмпирическим созерцанием. В самом деле, все геометрические положения имеют аподиктический характер, т. е. связаны с сознанием их необходимости, например положение, что пространство имеет только три измерения; но такие положения не могут быть эмпирическими, или суждениями, исходящими из опыта, а также не могут быть выведены из подобных суждений»13.
-299-
Пространство, по Канту, есть форма всех явлений внешних чувств, субъективное условие чувственности. При этом пространство не есть ни понятие, ни чувственное созерцание, а потому его невозможно постигнуть ни с помощью мышления, ни через ощущение, как воспринимаются чувственные вещи. Оно, как и у Платона, предстает у Канта в качестве промежуточного звена между мышлением и ощущением, а потому имеет общие моменты как с первым, так и со вторым. В самом деле, вспомним, какие функции выполняет в системе Канта мышление и какие — чувственность. Мышление осуществляет функцию единства, связи многообразного, чувственность же дает, поставляет само многообразное. Пространство же как априорная форма чувственности имеет общее с мышлением — оно есть форма единства всего внешним образом воспринимаемого: на уровне чувственного восприятия все вещи внешнего мира как бы объемлются («находятся») в едином пространстве. А потому и пространство — одно, а не множество различных и разнородных пространств. «Представить себе можно только одно-единственное пространство, и если говорят о многих пространствах, то под ними разумеют лишь части одного и того же единственного пространства. К тому же эти части не могут предшествовать единому, всеохватывающему пространству, словно его составные части (из которых можно было бы его сложить): их можно мыслить только находящимися в нем. Пространство в существе своем едино...»14. Но, с другой стороны, пространство имеет общее и с чувственностью, с ощущением, поскольку оно содержится во всяком эмпирическом представлении о многообразном, как оно дано внешнему восприятию; оно есть чистая форма рядоположенности, а тем самым и различия; поэтому-то пространство и делимо на бесконечно многие части.
Таким образом, у Канта пространство тоже есть нечто вроде «гибрида» между мышлением и ощущением, как говорил Платон, между ньЮуЯт и бЯуцеуЯт. И можно было бы сказать, что поскольку его невозможно постигнуть ни через мышление (оно — не категория рассудка), ни через ощущение, то оно постигается с помощью «незаконнорожденного рассуждения», и мы видим его «как бы во сне». Кстати, метафора «сна» получает у Канта вполне проду
-300-
манное толкование: пространство, по Канту, имеет только эмпирическую реальность, а это значит, что «только с точки зрения человека мы можем говорить о пространстве, о протяженности и т. п.»16 Трансцендентальной реальности пространство не имеет, «пространство есть ничто, как только мы отбрасываем условия возможности всякого опыта и принимаем его за нечто лежащее в основе вещей в себе»1в. Кстати, у Платона образ «сна» наиболее ярко раскрывается в его известном сравнении эмпирического мира с пещерой: ведь узники в пещере принимают за истину тени проносимых за их спиной предметов, так же точно как человек во сне принимает за реальность свои сновидения. Само пространство у Платона — это не тени, т. е. не чувственные вещи, а как бы сама стихия сна, сам сон — как то состояние, в котором мы за реальные вещи принимаем лишь тени вещей. И, подобно тому, как проснувшись, мы воспринимаем виденное во сне как-то смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно не позволяет себя схватить и остановить, определить, подобно этому не дает себя постигнуть с помощью понятий и пространство.
Наше сравнение платоновского и кантовского учений о пространстве и обнаружение в них ряда общих моментов отнюдь не содержат в себе тенденции к тому радикальному сближению философии этих мыслителей, какое уже предпринималось в истории философии, в частности неокантианцами марбургской школы17. Конечно, и у Платона, и у Канта мы находим жесткое разделение мира чувственного, с одной стороны, и с другой — мира идей у первого и мира вещей в себе у второго. Но ни мир идей Платона не тождествен кантовскому миру вещей в себе, ни тот принцип, по которому производится это разделение, наконец, само обоснование научного знания и рассмотрение познавательного процесса существенно различаются у обоих, и не случайно Платон в своем обосновании знания ориентируется на античную науку, прежде всего математику, а Кант — на науку Нового времени, отличную от античной как по своим методам, так и по целям исследования. Этим обстоятельством объясняется и различие в кантовском и платоновском обосновании арифметики: если один укореняет число в мире идей, то другой, напротив, связывает его с априорной формой внутреннего созерцания — време
-301-
нем и, таким образом, полагает теоретическую базу для конструктивистского обоснования математики, далекого и чуждого платонизму.
Но при таком различии — откуда же тогда такая общность по вопросу о пространстве и по способу обоснования геометрии? Общность эта становится понятной, если принять во внимание, что Платон оказал сильное влияние на способ мышления античных математиков, получивший наиболее полное отражение в «Началах» Евклида, а Кант исходил из евклидовой геометрии как незыблемого фундамента физических наук. В этой точке и произошла встреча Канта с Платоном, как она до того не раз происходила и у других философов в связи с обоснованием математического знания: у Роберта Гроссетеста, И. Кеплера, Г. Галилея, И. Ньютона, Г. Лейбница — если указать только наиболее известные имена.
Поскольку у нас обсуждается проблема пространства, то необходимо во избежание недоразумений отметить, что ни у Платона, ни у Канта пространство не предстает как «пустое пространство», наподобие «абсолютного пространства» ньютоновской физики, служащего бесконечно протяженным вместилищем всех телесных вещей. Применительно к Канту о таком абсолютном вместилище не может быть и речи, ибо для него пространство есть априорная форма человеческой чувственности. Что же касается Платона, то его космология, во-первых, предполагает ограниченную, а не бесконечную вселенную, а, во-вторых, и в пределах последней не допускает существования пустоты18; Платон столь же решительный противник пустоты, как и Аристотель. Поэтому в известной мере прав А.Ф. Лосев, критикующий несостоятельность попыток сблизить платоновское представление о пространстве с представлением классической физики19. Интуиция бесконечного пространства, совершенно отделенного от своего наполнения и потому могущего быть рассмотренным как «пустое», есть одна из основных предпосылок естествознания Нового времени, возникшая в результате длительной и сложной эволюции не только научных (прежде всего математических и космологических) понятий и представлений, но и серьезных мировоззренческих «переворотов». Эти «перевороты» (в Средние века и в эпоху
-302-
Возрождения) в конце концов разрушили устойчивый и завершенный облик античного космоса и расчистили путь к возникновению и формированию новой картины мира, а в ее рамках — и новой интуиции пространства.
Однако вернемся к нашей теме. Для уточнения платоновского учения о геометрии необходимо теперь ответить еще на один вопрос: как можно мыслить «соединение» чисел с пространством? В каком смысле можно говорить о таком «соединении» различного? Некоторый свет на этот вопрос проливают сочинения неоплатоников, прежде всего «Комментарии» Прокла к евклидовым «Началам». Разумеется, в неоплатонизме не только сохраняются и уточняются идеи Платона; они, конечно, получают тут и новую интерпретацию, поскольку существенно дополняются важнейшими принципами Аристотеля и принимают поэтому новую форму. Но тем не менее именно у неоплатоников мы находим часто разъяснение тех понятий, которые не вполне раскрыты в диалогах самого Платона, но, видимо, детально обсуждались им в занятиях с учениками. Сюда не в последнюю очередь относится и проблема обоснования математики: в XIII и XIV книгах аристотелевой «Метафизики» сообщается о теории числа и геометрического объекта много такого, чего мы не находим в платоновских диалогах или находим в «свернутой» форме. Это обстоятельство, кстати, привело некоторых исследователей к выводу о существовании «эзотерического» Платона, лишь отдаленно схожего с тем, которого изучали и знали прежде20. Разделение творчества Платона на «эзотерическое» и «экзотерическое» в такой резкой форме представляется несостоятельным; но обращение к сочинениям неоплатоников с целью прояснения некоторых положений Платона, в частности и связанных с обоснованием геометрии, видимо, очень полезно.
Комментируя постулаты Евклида, Прокл останавливается на интересной полемике, которую вели между собой ученик Платона Спевсипп и математик Менехм, ученик знаменитого Евдокса. Спор между ними велся по вопросу о доказательстве существования математических (геометрических) объектов, т. е. об их онтологическом статусе. Спевсипп считал, что математический объект существует до его построения, а Менехм доказывал, что он порождается с помощью построения21.
-303-
Как же Прок л разрешает этот спор — спор, который по существу в самой разной форме ведется философами математики и по сей день? Прокл заявляет, что в сущности обе спорящие стороны правы. Прав Спевсипп, «ибо проблемы геометрии — иного рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без вхождения в материю невозможно нахождение теорем: имею в виду интеллигибельную (умную) материю. Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними»22.
А что такое «умная материя»? Это ведь уже известный нам «гибрид», соединение умопостигаемого и чувственного, каким Платон считал пространство. А фантазия — это та способность, которую Платон называл «незаконнорожденным рассуждением» (может быть, лучше перевести — незаконнорожденным умозрением?).
Посмотрим теперь, что означают разъяснения Прокла по отношению к постулатам Евклида. Вот первый постулат (требование) евклидовой геометрии: «Требуется, чтобы (можно было) через всякие две точки провести прямую»23. Согласно Проклу, Спевсипп прав в том отношении, что проведение прямой, о которой говорится в постулате, не тождественно с механической задачей, которая выполняется с помощью технических средств: в данном случае линейки24. Но как же тогда мыслится проведение прямой из одной точки в другую? Вот что пишет об этом Прокл: «Возможность провести прямую из любой точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки и прямая — равнонаправленное и не отклоняющееся течение. Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первый постулат выполнен без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны»26. Стало быть, первый постулат Евклида — это, по Проклу, простейший акт представления того, как движется точка.
Но если не нужно особых усилий, чтобы представить себе, как движется точка, то необходимо большое усилие,
-304-
чтобы понять, где же, в какой стихии движется точка и что такое она сама.
Прокл отвечает на этот вопрос так: «Но если бы у кого-нибудь возникли затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку), ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не очень огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении. И мы не можем признать, что неделимое (точка) подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движению фантазии (кЯнЮуЯт цбнфбуфЯкЮ). Ибо неделимый ум (нпнт) движется, хотя и не путем перемещения; также и фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное движение»26. Таким образом, движение геометрической точки совершается не в умопостигаемом мире (идей), но и не в мире чувственности; оно совершается в воображении. Такое название у Прокла получила та стихия, которая, по Платону, подобна сну. И в полном соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют собой только чувственные подобия соответствующих геометрических фигур, Прокл далее говорит о том, что телесное движение есть лишь чувственный аналог движения в воображении.
Итак, точка — это не идея, но и не материальное тело; ее характеристика столь же двойственна, сколь и характеристика самой стихии воображения, в которой она движется. В самом деле, по определению античных математиков, точка — это единица (мпнбт), наделенная положением. Благодаря своему «положению» она уже не есть нечто чисто умопостигаемое, какой является монада, единица (она же — единое), но она еще и не стала чем-то чисто чувственным, а стало быть, делимым. Поэтому Евклид и определяет точку как то, «что не имеет частей». У нее какой-то промежуточный статус: как замечает Прокл, благодаря своей наделенности «положением» точка «простирается в воображении», она тем самым «оматериалена через интеллигибельную материю» и в этом смысле есть нечто «теловидное» (уюмбфпеЯдет)27.
Воображение, таким образом, есть способность, благодаря которой возможна связь между неделимым, постига
-305-
емым лишь с помощью ума, и делимым, постигаемым с помощью чувственного восприятия. «Может оказаться затруднительным вопрос, — пишет Прокл, — как может математик постигнуть в фантазии неделимую точку, если фантазия все воспринимает только в образах и частях. Ибо не только понятия мыслящего ума, но и формы умопостигаемых и божественных идей фантазия получает сообразно ее собственному роду, порождая из безобразного образы и из бесфигурного фигуры... Деятельность фантазии не является ни односторонне делимой, ни неделимой, а идет от неделимого к делимому и от безобразного к образному... Содержа, следовательно, в себе двойную способность, неделимости и делимости, фантазия содержит точку в неделимом и протяжение — в делимом образе»28.
Не удивительно поэтому, что воображение как способность, отличная как от мышления, так и от чувственного восприятия, рассматривалась как важнейшая функция души, которую еще Платон в своем «Тимее» поместил между умом, с одной стороны, и телом — с другой29.
Аналогичную роль отводит воображению и Кант. Говоря о продуктивной способности воображения, которую он отличает от репродуктивного, синтез которого подчинен только эмпирическим законам и которое поэтому подлежит изучению в психологии, а не в трансцендентальной философии30, Кант, подобно Проклу, определяет его как способность, лежащую как бы посредине между рассудком и его категориями, с одной стороны («неделимое» Прокла), и с явлениями — с другой («делимое», «образное»). Поскольку эта способность находится как бы «между» этими двумя противоположными сферами, она, по Канту, служит связующим мостом между ними. Она есть то третье, однородное, с одной стороны, с категориями, а с другой — с явлениями, и делающее возможным применение категорий к явлениям. Это посредствующее представление должно быть чистым (не заключающим в себе ничего эмпирического) и тем не менее, с одной стороны, интеллектуальным, а с другой — чувственным31.
Не случайно трансцендентальное действие воображения Кант называет фигурным синтезом: в отличие от чисто рассудочного синтеза, который можно было бы назвать интеллектуальным и который лишен всякого образа («по
-306-
нятия мыслящего ума», как их называет Прокл, или «категории», по Канту)32, фигурный синтез есть результат воздействия рассудка на внутреннее чувство (априорной формой внутреннего чувства является, по Канту, время). «Рассудок не находит во внутреннем чувстве подобную связь многообразного, а создает ее, воздействуя на внутреннее чувство»33. Продуктивная способность воображения, таким образом, не есть, по Канту, самостоятельная способность; она есть деятельность, порождаемая активным действием рассудка на внутреннее чувство. Но без этой способности невозможна ни теоретическая, ни практическая деятельность человека. И уж несомненно, что именно продуктивная способность воображения является неотъемлемым условием возможности геометрических объектов. «Мы не можем мыслить линию, не проводя ее мысленно, не можем мыслить окружность, не описывая ее, не можем представить себе три измерения пространства, не проводя из одной точки трех перпендикулярных друг другу линий...»34.
Так же как и Прокл, Кант считает, что проведение линии в воображении не тождественно механическому действию в эмпирической реальности, с помощью которого мы эту линию чертим на доске. Поэтому, с точки зрения Канта, механика и геометрия — принципиально разные науки. «Движение объекта в пространстве не подлежит рассмотрению в чистой науке, следовательно, не подлежит также рассмотрению в геометрии, так как подвижность чего бы то ни было познается не a priori, а только опытом. Но движение как списывание пространства есть чистый акт последовательного синтеза многообразного во внешнем созерцании вообще при помощи продуктивной Способности воображения и подлежит рассмотрению не только в геометрии, но даже в трансцендентальной философии»36. По Канту, именно геометрия как чистая наука служит условием возможности механики, подобно тому как математика в целом есть то основание, на котором строит свое здание все естествознание.
Таким образом, мы видим, что традиция античной философии математики, как она сложилась у Платона, а затем в неоплатонизме, отнюдь не пресекается в трансцендентальной философии Канта, хотя, конечно, и осмысляетс
-307-
в ином контексте, поскольку Кант решительно пересматривает важнейшие положения объективного идеализма Платона. Мы здесь не можем подвергнуть анализу весь контекст кантовской и платоновской концепций геометрии — это выходит за рамки нашей главы. Но, видимо, традиция и живет именно в форме такого рода «изменения контекста» — если же ее стремятся хранить в полной неизменности и « нетронутости», то она больше не говорит, а замолкает и превращается в музейный экспонат.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Платон был непосредственно связан с крупнейшими математиками своего времени: Теэтетом, Евдоксом, атакже Архитом, его близким другом; открытия этих математиков вошли в состав «Начал» Евклида.
2 Метафизика, XIII, 6, 1080 b 13. Перевод А.В. Кубицкого.
3 «...Последовательно проводимое элеатство с его учением о невозможности движения... приводило к безвыходному иллюзионизму, которого пугалась и страшилась вся античность вообще...» (ЛосевА.Ф. История античной эстетики (ранняя классика). М., 1963. С. 429.
4 Государство, УП, 526. Перевод А.Н. Егунова.—Выделено мной. — П.Г.
5 Государство, VI, 510-511.— Курсив мой. — П.Г.
6 Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М.. 1959. С. 201.
7 Метафизика, I, 6, 987 а 29.
8 Во-первых, греки никогда не отождествляли отношение и число, в отличие от ученых Нового времени: начиная с Ньютона и Лейбница математики нередко рассматривают число как некоторого рода отношение. Не является поэтому для греческого математика числом и дробь. У Евклида число определяется как собрание единиц (см. определение 2 седьмой книги «Начал»).
9 Маковельский А. Досократики. Ч. III. Казань, 1919. С. 35 (32 В 11). Согласно пифагорейцам, декада содержит в себе сущность числа. Об этом сообщает Аэций: «Природа же числа — десять. Ибо все эллины и все варвары считают до десяти, дойдя же до этого (числа), они снова возвращаются к единице» (Там же. С. 73 (45 В 15). Смысл этого высказывания становится понятным только, если иметь в виду, что подразумевают греческие математики под числом. Как указывает переводчик и комментатор «Начал» Евклида Д.Д. Мордухай-Болтовской, для Евклида «число — бсЯимпт — это прежде всего целое число, собрание нескольких (1) единиц, к тому же часто определенным образом расположенных (фигурные числа)» (Мордухай-Болтовской ДД. Комментарии к «Началам» / «Начала» Евклида. Кн. I-VI. М.-Л., 1948. С. 385).
9 Единица, или единое (мпнбт), — не просто число, а скорее начало, принцип числа. Определение единицы, как его дает Евклид в VII книге
-308-
10 «Начал», явно восходит к пифагорейцам: «Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым» («Начала» Евклида. Кн. VII-X. Перевод Д.Д. Мордухай-Болтовского. М., 1949. С. 9).
11 См. с. 40 настоящей книги.
12 Немецкий историк математики Оскар Беккер отмечает, что Кант, сведя число к времени, оказался много ближе к аристотелевскому, чем к платоновскому пониманию числа. См.: Becker О. Mathematische Existenz. Untersuchungen zur Logik und Ontologie mathematischer Phanomene. In: Jahrbuchfur Forschung. Hrsg. von E. Husserl. Bd. VUI, Hallea.d.S., 1927,8. 637-653.
13 Кант И. Сочинение в шести томах. Т. 3. М., 1964. С. 132.
14 Там же. С. 131.
15 Там же. С. 133.
16 Там же. С. 134.
17 Наиболее характерна в этом отношении работа П. Наторпа «Учение Платона об идеях» (Platons Ideenlehre. Eine Einfiihrung in den Idealismus, 1903).
18 Тимей, 58 a, 59 a, 60 c, 79 ab.
19 Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука. М., 1927. С. 179-180.
20 См., например, книгу: Gaiser R. Platons ungeschriebene Lehre. Stuttgart, 1963. Этот вопрос с большой обстоятельностью рассмотрен Т.В. Васильевой в ее книге «Комментарий к курсу истории античной философии». М., 2002. С. 91-118.
21 Об этом подробнее сы.:Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л., 1932. С. 71 и сл.
22 Отрывок из Прокла цитируется по кн.: Becker О. Die Grundlagender Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. Orbis Academicus, Bd 11, 6. Freiburg, 1964, S. 34-35.
23 Мы цитируем здесь Евклида в переводе М.Я. Выгодского. См.: Выгодский МЛ. Начала Евклида / Историко-математические исследования. Вып. I., М.-Л., 1948. С. 248.
24 В этой связи приведем замечание С.А. Яновской: «Геометрия «Начал» Евклида есть геометрия циркуля и линейки, но только «идеализированных» циркуля и линейки — таких, с помощью которых можно, например, удвоить любой сколь угодно большой отрезок или разделить пополам сколь угодно малый» (Яновская С-А. Из истории аксиоматики / Историко-математические исследования. Вып. XI. М. 1958. С. 89).
25 Отрывок из Прокла цит. по кн.: Szabo A. Anfange der griechischen Mathematik. S. 374.
26 Ibid. S. 375-376.
27 Эти замечания Прокла цитируются нами по кн.: Лосев АФ. Античный космос и современная наука. С. 413.
26 Proklus Diadochiis. Euklid — Kommentar, ubers. von Leander Schbnberger. Halle, 1945. S. 231-232. Проблеме выражения в геометрии и рассмотрению понятия умопостигаемой материи в античной и новоевропейской философии посвящено интересное исследование Д.В. Никулина: Nikulin D. Matter, Imagination and Geometry. Ontology, natural
-309-
philosophy and mathematics in Plotinus, Proclus and Descartes. Ashgate, 2002. См. особенно страницы 141-144.
29 He случайно поэтому Конрад Гайзер рассматривает учение Платона о числах и геометрических объектах в тесной связи с платоновской теорией души (см.: Gaiser К. Platons ungeschriebene Lehre. S. 52-66, 104-105).
30 См.: Кант И. Сочинения. Т. 3. С. 205.
31 Там же. С. 221.
32 Мы здесь отнюдь не снимаем того существенного различия, которое существует между платоновским и кантовским пониманием «ума»; но в том достаточно узком вопросе, который здесь обсуждался, мы специально на этом различии не останавливаемся.
33 Кант И. Сочинения. Т. 3. С. 207.
34 Там же. С. 206.
35 Там же. С. 207.
Часть 11.
Глава V
Поможем написать любую работу на аналогичную тему