Нелинейные модели регрессии и линеаризация

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней –

– равносторонняя гипербола –

–полулогарифмическая функция – .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная – ;

– показательная – ;

– экспоненциальная – .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Так, парабола второй степени  приводится к линейному виду с помощью замены: x=x1, x2=x2. В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

Равносторонняя гипербола  приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости ,  и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся:

- степенная функция – ,

- показательная – ,

- экспоненциальная – ,

- логистическая –,

- обратная – .

К внутренне нелинейным моделям можно отнести следующие модели:

-,

-  .

Степенная модель:

Y=A+bX,                    где Y=lny, A=lna, X=lnx

Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

Показательная модель :

Y=A+xB,                    где Y=lny, A=lna, B=lnb

Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

Экспоненциальная модель :

Y=a+bx,                      где Y=lny

Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных: