Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например, равносторонней гиперболы, параболы второй степени и др.
Различают два класса нелинейных регрессий:
- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
- регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:
· полиномы разных степеней –у = а +bх + с2 + ε,
у =а + bх +сх +dx3+ ε,
- равносторонняя гипербола
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
- степенная — y = axbε
- показательная – у = аbх ε
- экспоненциальная – y=ea+bxε
Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по объясняющим переменным
Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени
у= а0 + а1 х + а2 х2 + ε
заменяя переменные х1 =х, х2 = х2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии:
у= а0 + а1 х1 + а2 х2 + ε
для оценки параметров которого, как будет показано далее, используется МНК.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.
Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу
Для равносторонней гиперболы такого вида, заменив на z, получим линейное уравнение регрессии y = a +bz +ε оценка параметров которого может быть дана МНК.
Она может быть использована не только для характеристики связи удельных расходов сырья,материалов,топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, т.е. на микроуровне, но и на макроуровне. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы х и процентом прироста заработной платы у.
В отдельных случаях может использоваться и нелинейная модель вида
так называемая обратная модель, являющаяся разновидностью гиперболы Но, если в равносторонней гиперболе преобразованию подвергается объясняющая переменная z = 1/x и y = а + bz + ε, то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у, а именно: z =1/y и z = a + bx +ε.
В результате обратная модель оказывается внутренне нелинейной и требование МНК выполняется не для фактических значений признака у, а для их обратных величин 1/у, а именно
следовательно полученная методом наименьших квадратов оценка уже не будет эффективной.
Приведение к линейному виду регрессий, нелинейных по параметрам
Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные.
Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду.
Если нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.
Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цен широко используется степенная функция:
y = axbε
где у – спрашиваемое количество;
х – цена;
ε – случайная ошибка.
Данная модель нелинейна относительно оцениваемых пaраметров, ибо включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду:
lпу = lпа + b lnx + ln ε.
Соответственно оценки параметров а и b могут быть найдены МНК.
Если же модель представить в виде y = axbε, то она становится внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида — у = а + bхc + ε, ибо это уравнение не может быть преобразовано в уравнение, линейное по коэффициентам.
В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей.
В этом плане к линейным относят, например, экспоненциальную модель y = еa+bхε, ибо логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели
lnу = а + b х +lnε.
Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция y = axbε.
Связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%.
В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям.
Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия
,
то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lпу, 1/у.
Так, в степенной функции y = axbε МНК применяется к преобразованному уравнению lпу = lnа + xlnb.
Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:
Вследствие этого оценки параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенными. При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln у, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это и кривые спроса и предложения, и кривые Энгеля, и производственные функции, и кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, и зависимость валового национального дохода от уровня занятости.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему