Нужна помощь в написании работы?

Результат косвенного измерения находят по данным прямых измерений нескольких величин (аргументов), связанных известной функциональной зависимостью с искомым результатом.

Вначале рассмотрим простейший случай, когда искомая величина  определяется как сумма двух величин Х1 и Х2: .              

Поскольку результаты прямых измерений величин Х1 и Х2 (после исключения систематических погрешностей) включают в себя некоторые случайные погрешности, то формулу косвенного измерения суммы можно переписать в виде ,          

Где   - средние арифметические (или средние взвешенные), полученные при обработке результатов прямых измерений величин и ;   - случайные погрешности величин и ;   - оценка истинного значения косвенно измеряемой величины и  ее случайная погрешность.

Вытекает справедливость двух последних равенств:  ;   ,       т.е. оценкой истинного значения косвенно измеряемой величины должна служить сумма оценок истинных значений исходных величин, случайные погрешности которых складываются.

Математическое ожидание оценки  равно сумме истинных значений величин X1 и X2 и, следовательно, является истинным значением измеряемой величины Y:

ее дисперсия составляет

            Математическое ожидание произведения случайных погрешностей называется корреляционным моментом и определяет степень «тесноты» линейной зависимости между погрешностями. Вместо корреляционного момента часто пользуются безразмерной величиной, называемой коэффициентом кор-реляции:    

Отсюда, в частности, следует, что коэффициент корреляции между погрешностями и  средних арифметических равен коэффициенту корреляции между погрешностями результатов отдельных измерений величин X1 и X2: .

С учетом коэффициента корреляции с.к.о. результата косвенных измерений, т.е. оценки истинного значения косвенно измеряемой величины, будет         .          

Если погрешности измерения величин X1 и X2 некоррелированы, то: .                                                        

В тех случаях, когда теоретические с.к.о. результатов прямых измерений неизвестны, определяется оценка  с.к.о. результата косвенных измерений через оценки с.к.о. и : .             

Оценки коэффициента корреляции  вычисляют на основании результатов прямых измерений исходных величин: где nmin  - наименьшее из чисел наблюдений n1  и  n2 .

При положительной корреляции, т.е. когда одна из погрешностей имеет тенденцию возрастать при увеличении другой, если же корреляция отрицательна, то  и погрешность измерения одной величины обнаруживает тенденцию к уменьшению при увеличении погрешности измерения другой величины. Возможные значения коэффициента корреляции лежат в интервале . Если , то погрешности измерения некоррелированы.

О наличии корреляции удобно судить по графику, на котором в координатах изображены пары последовательно получаемых результатов измерения величин X1 и X2 .

На рисунке 1.2 изображены случаи совместного распределения результатов измерения при положительной (рисунок 1.2,a) и отрицательной (рисунок 1.2,б) корреляции. Результаты измерений на рисунке 1.2,в  некоррелированы.


Чаще всего наличия корреляции следует ожидать в тех случаях, когда обе величины измеряются одновременно однотипными средствами измерений, причем измерения внешних влияющих величин (электрических, магнитных, температурных, условий питания и прочее) одновременно заметно влияют на формирование случайных погрешностей их измерения. В некоторых случаях причиной корреляции между результатами измерений может стать сам проводящий измерения, т.к. искусство и опыт наблюдателя показывают значительное влияние на результаты измерений.

В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различ-ных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированы, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь.

При неизвестных с.к.о. слагаемых следует подставлять их оценки  , а оценки коэффициентов корреляции вычисляют по формуле ,где nmin - наименьшее из чисел наблюдения Xk   и  Xl .

Если исходные измерения независимы, то все коэффициенты корреляции равны нулю и с.к.о. оценки Y определяют с помощью более простого выражения   .                                                                                

Произведения частных производных уравнения косвенного измерения на с.к.о. результатов измерения соответствующих аргументов называются част-ными погрешностями косвенного измерения:

Таким образом, в качестве наиболее достоверного значения  косвенного измеряемой величины Y следует понимать значение, получаемое подстановкой в формулу (1.64) косвенного измерения средних арифметических  рядов измерений искомых величин; с.к.о. этой оценки определяется из формулы , причем значения частных производных вычисляются при средних арифметических значениях аргументов .

Распределение результата косвенных измерений будет нормальным, если нормальны распределения результатов прямых измерений. В этих условиях для вычисления доверительного интервала случайной погрешности , рассчитываемого по формуле , используется значение коэффициента tp , прямо выбираемое из таблицы Ж.1 при количестве измерений n>30. Если же n£30 , предварительно должно быть определено “эффективное” число степеней свободы, которое затем учитывается при определении tp:  ,где nj – число прямых измерений величины Xj :

Поделись с друзьями