Основы теории гидродинамического подобия. Критерии гидродинамического подобия

            Несмотря на высокий уровень развития современной гидродинамической теории, далеко не все задачи могут быть решены теоретически с достаточной для практических целей точностью. Многие задачи приходится решать экспериментально. При создании современных гидравлических и газодинамических машин, приборов, летательных аппаратов, сооружений и т.д. гидро-динамический расчет является важнейшим и обязательным этапом проектирования, но все же результирующая оценка качеств и характеристик создаваемой машины или сооружения производится на основе экспериментных испытаний модели или натурного объекта. Роль гидродинамического эксперимента велика, и существует обширный раздел гидромеханики, составляющий самостоятельную дисциплину – экспериментальную гидромеханику или аэродинамику.

            При постановке гидродинамического эксперимента одним из основных является вопрос о том, по каким правилам должна быть изготовлена модель испытываемого объекта и по каким зависимостям следует пересчитать данные опытов, чтобы получить достоверное описание натурного гидродинамического явления. На этот вопрос дает ответ раздел гидромеханики, называемой теорией подобия.

            В теории подобия различают геометрическое подобие , являющееся подобием границ областей течений, кинематическое подобие, под которым подразумевают подобие полей местной скорости, и динамическое подобие, являющееся подобием сил.

            Дадим более полное определение. Пусть есть натурный объект и его модель. Все параметры натурного потока будем отмечать индексом 1, модели – 2. Чтобы получить область течения, геометрически подобную натурному потоку, разделим все линейные размеры последнего на некоторое число ml – линейный масштаб, и полученные результаты примем за соответствующие линейные размеры модельного истока. Число ml выбирают из практических Место для формулы.соображений, которые диктуются, например, производственными возможностями лаборатории.

            Таким образом получаем связь между геометрическими параметрами натуры l1 и модели l2 :

                                                                      = ml                                                          (6:1)

Линейные размеры, связанные соотношением (6:1) называются соответственными или сходственными. Точки, координаты которых удовлетворяют этому соотношению, называются сходственными.

            Итак, два потока будут геометрически подобными, если любой линейный размер одного из них можно получить из линейного размера другого путем умножения на постоянный множитель.

            Если выбрать для модели и натуры характерный размер и отнести все линейные размеры модели и натуры к этому характерному размеру, то получим безразмерные  отношения или безразмерные координаты, которые для сходственных точек одинаковы.

            Допустим теперь, что потоки 1 и 2 геометрически подобны. Обозначим через U1 и U2 скорости в их сходственных точках. Если отношение

                                                                    = mu                                                           (6:2)

одинаково для любой пары сходственных точек, то потоки 1 и 2 будем считать кинематически подобными.

            Для неустановившегося течения условие (6:2) должно выполняться в момент времени, которые называются сходственными и определяются соотношением:

 = mt,

где mt – масштаб времени.

            Рассмотрим далее какую-либо пару сходственных точек и обозначим силы действующие в этих точках F1 и F2. Если

                                                                  = mF,                                                                                             (6:3)

есть величина постоянная для любой пары сходственных точек, то потоки 1 и 2 называются динамически подобными.

            Кинематические и динамические подобия могут существовать только при наличии геометрического подобия.

            Если для какой-либо группы гидродинамических явлений имеет место кинематическое и динамическое подобие, то их называют механически подобными. В этом случае, безразмерные координаты сходственных точек, а такие безразмерные скорости и силы одинаковы. То есть все физические параметры механически подобных потоков, представленные в безразмерном виде для сходственных точек, одинаковы. А все физические параметры в любом из потоков связаны системой дифференциальных уравнений, описывающих движение, но если потоки механически подобны, то сами уравнения представленные в безразмерном виде, должны быть одинаковыми. Имея это в виду, запишем уравнение движения (Навье-Стокса) и приведем их к безразмерному виду. Для всех динамически подобных потоков оно должно быть одинаковым, а следовательно, необходимо, чтобы коэффициенты каждого из членов для этой группы потоков были одинаковыми, то есть:

 = idem;     = idem;     = idem;     = idem,

где U2 = ,  ρu2=Eu,  UL= ,  UT=Sh.

Эти безразмерные комплексы играют роль критериев подобия и имеют собственные наименования.

То есть, если существуют механически подобные потоки, то записав систему дифференциальных уравнений движения в безразмерном виде, получим единственное решение, в которое войдут в качестве параметров зафиксированные значения чисел Fr, Eu, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс динамически подобных потоков.

            Физический смысл чисел Fr, Eu, Re, Sh и соответствующих критериев заключается в том, что выражения для них получены делением коэффициентов при отдельных членах уравнений движения на коэффициент при конвективной силе инерции. Эти члены представляют собой отнесенные к единице массы силы различной физической природы:

 = Fr -

характеризует отношение силы инерции к силе тяжести;

 = Re -

отношение силы инерции к силе вязкости;

 = Eu -

отношение  силы давления к силе инерции;

 = Sh -

отношение локальной инерционной силы к конвективной. То есть, все критерии характеризуют отношение сил различной физической природы и потому являятся критерием динамического подобия.

Л.И.Седов «Методы подобия и размерности в механике», М. – 1987г.