Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - Основы гидравлики

При переходе от элементарной струйки идеальной жидкости к потоку реальной жидкости, имеющему конечные размеры и ограниченному стенками, необходимо учесть неравномерность распределения скоростей по сечению (Рис. 21), а также потери энергии (напора). И то, и другое является следствием вязкости жидкости.

Рис. 21. Распределение скоростей в реальном потоке

При движении вязкой жидкости вдоль стенки происходит торможение потока за счет сил молекулярного сцепления между молекулами жидкости и стенки, а также за счет касательных напряжений в самой жидкости. Вследствие этого на поверхности стенки скорость жидкости практически равна нулю, а максимума достигает в центре потока (в закрытом русле) или на свободной поверхности вдали от стенки (в открытом русле).  Кроме преодоления указанных сил, часто энергия тратится на перемешивание жидкости, вихреобразование, вращение ее частиц. Поэтому полная удельная энергия движущейся реальной жидкости не остается постоянной вдоль потока, а уменьшается.

Из-за неравномерности скоростей в сечении приходится вводить среднюю скорость потока Vср, а также среднее значение полной удельной энергии.

Прежде, чем приступить к выводу уравнения, введем допущение: будем считать, что в пределах рассматриваемых поперечных сечений потока справедливо основное уравнение гидростатики, то есть гидростатический напор в пределах сечения есть величина постоянная:

.

Другими словами, считаем, что при движении жидкости отдельные струйки оказывают друг на друга в поперечном направлении такое же давление, как и слои неподвижной жидкости.

Введем понятие мощности потока. Мощностью потока в данном сечении называют полную энергию, которую проносит поток через это сечение в единицу времени.

Так как в различных точках сечения потока скорости различны, различны будут и энергии частиц жидкости. Поэтому запишем сначала выражение для мощности элементарной струйки в виде произведения удельной полной энергии на массовый расход:

Мощность всего потока – это сумма мощностей всех входящих в него элементарных струек

.

Средняя по сечению полная удельная энергия

Последнее слагаемое умножим и разделим на Vср2 и перейдем к напорам:

где a =  – безразмерный коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Если умножить числитель и знаменатель этого выражения на r/2, то становится понятно, что a – это отношение действительной кинетической энергии потока в данном сечении к кинетической энергии потока с тем же расходом и в том же сечении, но при равномерном распределении скоростей.

При равномерном распределении скоростей по сечению потока a = 1, а при неравномерном a > 1.

Возьмем два сечения реального потока и обозначим средние значения полного напора жидкости в этих сечениях Hср1 и Hср2. Тогда

Hср1 = Hср2 + Shп,

где Shп – суммарная потеря полного напора на участке между 1 и 2 сечениями.

Используя выражение для полного напора, получим

Это и есть уравнение Бернулли для потока реальной жидкости.

Отличий от уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости 3:

– есть слагаемое, учитывающее потери напора;

– использованы коэффициенты Кориолиса;

– использованы средние скорости потока в сечениях.

Умножив уравнение на g, получим уравнение Бернулли, записанное через удельные энергии:

где – потери удельной энергии жидкости.

Если домножить последнее уравнение на r, то получим уравнение в давлениях:

где – потери давления.

Полученное уравнение Бернулли справедливо и для газа, при условии, что скорость его движения значительно меньше скорости звука.

Таким образом, полный напор в потоке реальной жидкости не остается постоянным, а все время уменьшается вдоль потока, причем в общем случае, неравномерно (Рис. 22).

Энергия, теряемая потоком на участке между двумя рассматриваемыми сечениями, не исчезает, а превращается в тепловую. Этот процесс необратим, то есть тепловая энергия не может преобразоваться обратно в механическую энергию потока. Тепловая энергия воспринимается жидкостью и стенками. Учитывая значения теплоемкостей жидкостей и величины потерь энергии, можно сказать, что нагрев жидкости, как правило, мало ощутим.

В горизонтальной трубе постоянного сечения геометрический и скоростной напоры будут оставаться неизменными, а падение полного напора будет происходить за счет уменьшения пьезометрического напора.

Уменьшение среднего значения полной удельной энергии жидкости вдоль потока, приходящееся на единицу его длины, называется гидравлическим уклоном. Изменение удельной потенциальной энергии давления, приходящееся на единицу длины потока, называется пьезометрическим уклоном. В горизонтальной трубе постоянного сечения эти уклоны одинаковы.

Рис. 22. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли

для реального потока