Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Рассмотрим уравнения живых сил, для чего умножим уравнения у Эйлера на  dx, dy, dz  соответственно, и сложим их почленно:

.

Для установившегося движения в скобках слева стоит полный дифференциал давления dp. Справа будем иметь:

                                  dx/dt = Vx;                       dy/dt = VY;                              dz/dt = Vz     

Тогда                       VxdVx = d(Vx2/2);                   VydVy = d(VY2/2);                        VzdVz = d(Vz2/2).

Но сумма полных дифференциалов трех   составляющих скорости   по осям х, у, z равна полному дифференциалу скорости:

d(Vx2/2) +d(VY2/2) +d(Vz2/2) =d(V2/2) Окончательно получим закон живых сил в следующем виде:

d(V2/2) = Xdx + Ydy +Zdz -dp/p

Закон живых сил можно сформулировать в следующем виде: дифференциал   кинетической энергии частицы идеальной жидкости при установившемся движении равен  сумме элементарных работ сил тяжести и сил давления.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай движения жидкости: Расположим в несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести в установившемся движении, оси координат так, что ось z была направлена вверх параллельно направлению действия силы тяжести. Тогда X=Y=0, Z=-g (знак «минус» поставлен, т.к. ось Z направлена вверх, а ускорение g вниз) и уравнение живых сил перепишется в следующем виде:

.

Перенеся все составляющие в левую часть, получим:

.

Разделим каждый член на g и сумму дифференциалов заменим дифференциалом суммы:

.

После интегрирования получим уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости в установившемся движении:

.

Дифференциал равен нулю, если под знаком дифференциала стоит постоянная величина.

Все три члена уравнения Бернулли представляют собой механическую энергию, поэтому можно сделать следующее заключение: вдоль линии тока несжимаемой и невязкой жидкости запас механической энергии, отнесенный к единице массы, веса или объема  остается постоянным.

Механическую энергию жидкости, отнесенную к единице веса, называют полным напором; суммы энергии сил давления и положения, отнесенную к единице веса - статическим напором. Вдоль данной линии тока (в установившемся движении жидкости) сумма скоростного и статического напоров остается постоянной.

Если вспомним, что P/pg пьезометрический напор, a z геометрический, а также введя понятие скоростного (динамического) напора V2/2g , то можно сказать, что сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров вдоль линии тока есть величина постоянная.

Так как сумма z+P/pg представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, a V2/2g- удельную кинетическую энергию, то уравнение Бернулли устанавливает постоянство полной энергии (суммы кинетической и потенциальной энергии) и является частным случае/закона сохранения энергии.

Получим теперь уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, для чего подсчитаем полную энергию жидкости в живом сечении, умножив все составляющие на весовой расход элементарной струйки и проинтегрировав по площади живого сечения :

.

Т.к. давление распределяется по закону гидростатики, то z+P/pg =const  и может быть вынесено за знак интеграла. Кроме того, скорости всех элементарных трубок одинаковы, поэтому также выносится за знак интеграла. Тогда получим:

.

Возвратясь теперь к размерности удельной энергии, получим уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости:

.

Уравнение не учитывает потерь напора и неравномерности распределения скоростей по сечению потока, возникающих при движении •  реальной жидкости.

Рассмотрим построение пьезометрической и напорной линии для случая движения идеальной жидкости (рис. 28).