Поскольку работа при перемещении заряда в потенциальном поле не зависит от траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути, ее можно выразить через координаты концов траектории. Это делается с помощью потенциала. Если пробный заряд перемещается между точками 1 и 2, то работа равна:
. (1.32)
Здесь 
и 
- значения потенциала в точках 1 и 2. Определенная таким образом величина 
называется потенциалом поля. Ясно, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии положительного единичного (пробного) заряда в данной точке поля. Верно также, что разность потенциалов 
между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2.
Установим связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля 
. Так как:
,
, (1.33)
то, определив градиент потенциала как:
, (1.34)
получим из (1.33):
(1.35)
или
. (1.36)
Из (1.35) ясно, что бесконечно малое приращение потенциала 
при перемещении в некотором направлении равно компоненте 
потенциала по этому направлению, умноженной на величину перемещения. Сравнивая (1.36) с (1.32), можно записать:
(1.37)
или 
, (1.38)
т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.
Введем понятие эквипотенциальной поверхности как поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение. Изобразим поверхности 
: 
(рис.1.16).
При перемещении вдоль 
. Так как 
, то 
. Значит, вектор 
направлен перпендикулярно эквипо-тенциальной поверхности, противоположен 
.
Разность потенциалов - это работа по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 (см.рис.1.16) – из точки, отвечающей большему потенциалу, в точку, отвечающую меньшему потенциалу.
Если это перемещение совершается вдоль , т.е. 
, тогда 
.
Найдем потенциал поля точечного заряда. Считая, что в формуле
точка 2 находится на бесконечности, полагаем 
. Тогда
.
Поле точечного заряда сферически симметрично, поэтому путь интегрирования возьмем по радиус-вектору 
.
. (1.39)
По принципу суперпозиции для потенциала системы точечных зарядов
.
При непрерывном распределении заряда
. (1.40)
Единица измерения потенциала – Вольт (В).
Примеры.
1. Электрический диполь – это система из двух одинаковых по модулю, но разноименных точечных зарядов, находящихся на расстоянии 
друг от друга.
Найти потенциал и напряженность поля диполя (рис.1.17).
Введем электрический момент диполя, направленный от 
к 
:
. (1.41)
Потенциал для диполя в точке А:
:
. (1.42)
Из формулы (1.42) видно, что потенциал диполя зависит от электрического момента 
. Найдем напряженность поля диполя:
, (1.43)
. При 
, сонаправленном с , получим:
- напряженность поля на оси диполя.
При 
: 
, напряженность поля перпендикулярно оси диполя. Силовые линии вблизи диполя показаны на рис.1.18.
Модуль вектора 
:
.
2. Найти потенциал шара, равномерно заряженного по объему зарядом q.
Напряженность поля шара была найдена ранее в § 1.4. Найдем потенциал в центре шара по формуле (1.40):
. (1.44)
При этом, 
. Для нахождения 
воспользуемся формулой, связывающей напряженность поля и потенциал:
.
Учтем, что при: 
; при 
(см.(1.24) и (1.25)). Тогда:
;
, – учтено, что 
.
найдем из граничного условия для 
, .
При 
; 
. Тогда:
. (1.45)
найдем из следующего граничного условия: при 
и 
, т.е. 
. Тогда
. (1.46)
График зависимости показан на рис.1.19. Видно, что потенциал непрерывно уменьшается от 
до 
внутри шара и от до нуля снаружи.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему