Нужна помощь в написании работы?

          Поскольку работа при перемещении заряда в потенциальном поле не зависит от траектории, а зависит лишь от начальной и конечной точек пути, ее можно выразить через координаты концов траектории. Это делается с помощью потенциала. Если пробный заряд перемещается между точками 1 и 2, то работа равна:

.                         (1.32)

Здесь  и  - значения потенциала в точках 1 и 2. Определенная таким образом величина  называется потенциалом поля. Ясно, что потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии положительного единичного (пробного) заряда в данной точке поля. Верно также, что разность потенциалов  между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2.

Установим связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля . Так как:

,

,                          (1.33)

то, определив градиент потенциала как:

,                 (1.34)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

получим из (1.33):

                                         (1.35)

или

.                                              (1.36)

          Из (1.35) ясно, что бесконечно малое приращение потенциала  при перемещении в некотором направлении равно компоненте потенциала по этому направлению, умноженной на величину перемещения. Сравнивая (1.36) с (1.32), можно записать:

                                      (1.37)

или                                             ,                                   (1.38)

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

          Введем понятие эквипотенциальной поверхности как поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение. Изобразим поверхности  (рис.1.16).

При перемещении вдоль  . Так как     , то . Значит, вектор  направлен перпендикулярно эквипо-тенциальной поверхности,  противоположен .

Разность потенциалов - это работа по перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2 (см.рис.1.16) – из точки, отвечающей большему потенциалу, в точку, отвечающую меньшему потенциалу.

          Если это перемещение совершается вдоль , т.е. , тогда .

          Найдем потенциал поля точечного заряда. Считая, что в формуле

точка 2 находится на бесконечности, полагаем . Тогда

.

Поле точечного заряда сферически симметрично, поэтому путь интегрирования возьмем по радиус-вектору .

.          (1.39)

          По принципу суперпозиции для потенциала системы точечных зарядов

.

При непрерывном распределении заряда

.                                  (1.40)

          Единица измерения потенциала – Вольт (В).

 

 

Примеры.

1.      Электрический диполь – это система из двух одинаковых по модулю, но разноименных точечных зарядов, находящихся на расстоянии  друг от друга.

Найти потенциал и напряженность поля диполя (рис.1.17).

Введем электрический момент диполя, направленный от  к :

.                                             (1.41)

          Потенциал для диполя в точке А:

:

.                    (1.42)

Из формулы (1.42) видно, что потенциал диполя зависит от электрического момента . Найдем напряженность поля  диполя:

,         (1.43)

. При , сонаправленном с , получим:

 - напряженность поля на оси диполя.

При :                   , напряженность поля перпендикулярно оси диполя. Силовые линии вблизи диполя показаны на рис.1.18.

Модуль вектора :

.

2. Найти потенциал шара, равномерно заряженного по объему зарядом q.

          Напряженность поля шара была найдена ранее в § 1.4. Найдем потенциал в центре шара по формуле (1.40):

.                  (1.44)

При этом, . Для нахождения  воспользуемся формулой, связывающей напряженность поля и потенциал:

.

Учтем, что при:      ;  при      (см.(1.24) и (1.25)). Тогда:

         ;

         , – учтено, что .

 найдем из граничного условия для , .

При ;         . Тогда:

                  .                             (1.45)

 найдем из следующего граничного условия: при  и  , т.е. . Тогда

              .                              (1.46)

График зависимости показан на рис.1.19. Видно, что потенциал  непрерывно уменьшается от  до  внутри шара и от  до нуля снаружи.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями