В диэлектриках источниками поля кроме сторонних являются также и связанные заряды. Поэтому теорема Гаусса для запишется:
. (2.24)
Так как из (2.23) , то: . Тогда:
, или
. (2.25)
Если ввести вектор , то электрическая индукция измеряется в тех же единицах, что и , т.е. в Кл/м2, - В/м, и из (2.25) получим:
. (2.26)
Это теорема Гаусса для вектора .
Поток вектора через замкнутую поверхность равен стороннему заряду, заключенному внутри этой поверхности.
Видно, что единственным источником являются свободные заряды. Вектор начинается на и заканчивается на .
Учтем, что: (2.19), тогда:
, (2.27)
- (2.28)
диэлектрическая проницаемость.
Применив (2.26) для точечного заряда, получим:
; .
. (2.29)
Если учесть, что , то напряженность поля точечного заряда в диэлектрике:
, (2.30)
то есть внутри диэлектрика поле в раз меньше, чем в вакууме. Именно с рассмотрения вопроса, почему поле в диэлектрике меньше, чем внешнее (или поле в вакууму) и начиналось изучение электрического поля в диэлектрике (§2.3). Отсюда ясен физический смысл . Во столько же раз меньше и потенциал точечного заряда:
. (2.31)
Тогда, емкость конденсатора при наличии диэлектрика в раз больше емкости, между пластинами которой содержится вакуум.
Рассмотрим теперь граничные условия для на границе двух диэлектриков.
На границе двух диэлектриков (рис.2.14) в поле возникают связанные заряды. Имеются две границы – 1-2 и 2-1 и две нормали на границе и . Они и показывают, какую границу мы рассматриваем.
1. Рассмотрим границу 1-2 (рис.2.15). Нормаль положительна, при этом (например, воздух-диэлектрик).
Чтобы вывести условия для нормальных составляющих, используем теорему Гаусса. В качестве замкнутой поверхности рассмотрим цилиндр (рис.2.15), для которого:
, .
Тогда из (2.23), - связанные заряды.
, (2.32)
но так как , то из (2.19) следует, что:
, .
Тогда , что и видно из рис.2.14.
Если , т.е. на границе нет сторонних зарядов, то, применив (2.26) и (2.24), получим:
, (2.33)
. (2.34)
Но так как , то . Это согласуется с результатами для . С учетом знака для границы 1-2 запишем граничные условия (2.32-2.34):
,
,
.
Так как , то:
. (2.35)
2. Рассмотрим границу 2-1 (рис.2.16): .
Используя теорему Гаусса как и на границе 1-2 и учтя, что , , получим:
;
; ;
Тогда: ; при этом , что согласуется с рис.2.14. Чтобы найти тангенциальные составляющие, используем теорему о циркуляции вектора (1.27). Выбрав контур в виде прямоугольника абвг, получим условие для .
;
;
. (2.36)
Подставляя выражения для и , получим:
. (2.37)
При ; .
Преломление силовых линий на границе.
Возьмем, как и прежде , тогда: из (2.35) и (2.36):
, ,
а также из (2.32):
, ,
Поэтому углы (см. рис.2.18).
Тогда , т.к.
. (2.38)
Силовые линии поля ведут себя, как показано на рис.2.18, т.е. преломляются на границе.
Пример.
Точечный заряд находится в центре шара из диэлектрика с проницаемостью . Радиус шара . Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью (рис.2.19). Найти на границе диэлектрика и связанный заряд внутри шара.
Напряженность поля как функция расстояния от центра шара по теореме Гаусса для (2.26) и формуле (2.27) запишем:
.
Тогда:
; и
. (2.39)
На границе 1-2 между диэлектриками:
. (2.40)
Видим, что знак зависит от соотношения между и . При , , , . Внутри шара при из (2.23):
.
Подставив (2.39), получим:
. (2.41)
Видно, что внутри шара всегда появляется связанный заряд , если заряд .
Поможем написать любую работу на аналогичную тему