Нужна помощь в написании работы?

   В диэлектриках источниками поля кроме сторонних являются также и связанные заряды. Поэтому теорема Гаусса для  запишется:

.                               (2.24)

Так как из (2.23)         ,     то:          .    Тогда:

,    или

.                           (2.25)

          Если ввести вектор , то электрическая индукция  измеряется в тех же единицах, что и , т.е. в Кл/м2, - В/м, и из (2.25) получим:

.                                      (2.26)

          Это теорема Гаусса для вектора .

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Поток вектора  через замкнутую поверхность равен стороннему заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Видно, что единственным источником  являются свободные заряды. Вектор  начинается на  и заканчивается на .

          Учтем, что:  (2.19), тогда:

,                    (2.27)

                         -                  (2.28)

диэлектрическая проницаемость.

Применив (2.26) для точечного заряда, получим:

;        .

.                                     (2.29)

Если учесть, что , то напряженность поля точечного заряда в диэлектрике:

,                               (2.30)

то есть внутри диэлектрика поле в  раз меньше, чем в вакууме. Именно с рассмотрения вопроса, почему поле в диэлектрике меньше, чем внешнее (или поле в вакууму) и начиналось изучение электрического поля в диэлектрике (§2.3). Отсюда ясен физический смысл . Во столько же раз меньше и потенциал точечного заряда:

.                                    (2.31)

Тогда, емкость конденсатора при наличии диэлектрика в  раз больше емкости, между пластинами которой содержится вакуум.

          Рассмотрим теперь граничные условия для  на границе двух диэлектриков.

На границе двух диэлектриков (рис.2.14) в поле  возникают связанные заряды. Имеются две границы – 1-2 и 2-1 и две нормали на границе  и . Они и показывают, какую границу мы рассматриваем.

1.     Рассмотрим границу 1-2 (рис.2.15). Нормаль  положительна, при этом  (например, воздух-диэлектрик).

Чтобы вывести условия для нормальных составляющих, используем теорему Гаусса. В качестве замкнутой поверхности рассмотрим цилиндр (рис.2.15), для которого:

,          .

Тогда из (2.23), - связанные заряды.

,                (2.32)

но так как , то из (2.19) следует, что:

,   .

Тогда , что и видно из рис.2.14.

Если , т.е. на границе нет сторонних зарядов, то, применив (2.26) и (2.24), получим:

,                                     (2.33)

.                                (2.34)

Но так как , то . Это согласуется с результатами для . С учетом знака  для границы 1-2 запишем граничные условия (2.32-2.34):

,

,

.

Так как    ,   то:

.                                     (2.35)

2.     Рассмотрим границу 2-1 (рис.2.16):   .

Используя теорему Гаусса как и на границе 1-2 и учтя, что , , получим:

;

;               ;

Тогда: ; при этом , что согласуется с рис.2.14. Чтобы найти тангенциальные составляющие, используем теорему о циркуляции вектора  (1.27). Выбрав контур в виде прямоугольника абвг, получим условие для .

;

;

.                        (2.36)

Подставляя выражения для              и       , получим:

.                               (2.37)

При                                 ;           .

Преломление силовых линий на границе.

          Возьмем, как и прежде , тогда: из (2.35) и (2.36):

,            ,

а также из (2.32):

, ,

Поэтому углы (см. рис.2.18).

Тогда , т.к.

.          (2.38)

Силовые линии поля ведут себя, как показано на рис.2.18, т.е. преломляются на границе.

Пример.

Точечный заряд  находится в центре шара из диэлектрика с проницаемостью . Радиус шара . Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью  (рис.2.19). Найти  на границе диэлектрика и связанный заряд внутри шара.

Напряженность поля как функция расстояния  от центра шара по теореме Гаусса для  (2.26) и формуле (2.27) запишем:

.

          Тогда:

;              и

.                                  (2.39)

На границе 1-2 между диэлектриками:

.       (2.40)

Видим, что знак  зависит от соотношения между  и . При , , , . Внутри шара при  из (2.23):

.

Подставив (2.39), получим:

.              (2.41)

Видно, что внутри шара всегда появляется связанный заряд , если заряд .

Поделись с друзьями