Основные законы магнитного поля.

Для электрического поля в вакууме были выведены две важнейшие теоремы:

-теорема Гаусса                         ,

-теорема о циркуляции            .

Найдем аналогичные соотношения для .

Рассмотрим магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность. Пусть ток  направлен к нам, перпендикулярно плоскости рисунка. Силовые линии – окружности, части которых приведены на рис.3.10. Нарисуем произвольную замкнутую поверхность. Выберем на ней элементарную трубку . Потоки через сечения  и  равны и противоположны по знаку. Общий поток через трубку равен нулю. Всю поверхность можно разбить на такие трубки, то есть:

.                       (3.23)

Это теорема Гаусса для вектора . Из соотношения (3.23) следует, что магнитные заряды отсутствуют. Линии  не имеют начала и конца, они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.

Сравнение с теоремой Гаусса для электрического поля приводит к возникновению вопроса о магнитных зарядах. В качестве магнитного заряда можно рассматривать  и  полюса магнитного диполя. Квантуются ли магнитные заряды, неизвестно. Это незнание следует из невозможности выделения изолированных полюсов: магнитные полюса существуют в природе лишь в виде диполей.

          В 1931 г. Дирак выдвинул теоретическое предположение в пользу возможности существования квантованного магнитного заряда (монополя), величина которого связана с зарядом электрона как: . Предполагалось, что существует элементарная частица, подобная электрону, несущая магнитный заряд . При этом должно выполняться следующее соотношение масс:

.

Экспериментального доказательства существованию монополя до сих пор нет.

Теперь рассмотрим теорему о циркуляции для . Будем исходить из выражения (3.16), полученного для индукции магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводнику (рис.3.11). Силовые линии – концентрические окружности с центром на линии токов. Величина :

Вычислим  по произвольному контуру , лежащему в плоскости, содержащей силовые линии .

;               ;

,  (3.24)

так как . Если  не охватывает ток , то, как видно из рис.3.12:

.

Итак:

При большом числе токов в контуре, охватывающем часть из них, в силу принципа суперпозиции  в каждой точке.

.       (3.25)

В общем случае, теорема о циркуляции вектора , или закон полного тока, записывается:

,                                     (3.26)

где  - полный ток (или сумма токов), охватываемый контуром . Выведем его в дифференциальной форме. Учтем, что:

;

;

,                    (3.27)

или

.                                    (3.28)

Это - дифференциальная форма закона полного тока. В такой форме он имеет локальный характер и справедлив в любой точке.

          Из закона о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциально. Так как силовые линии поля замкнуты, то оно является вихревым.

Следующие четыре уравнения для  совместно носят название уравнений Максвелла для вакуума:

;                         (3.29)

.                         (3.30)

Физический смысл этих уравнений таков.

- Уравнения (3.29) описывают тот факт, что силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; силовые линии магнитного поля замкнуты (поле вихревое).

-  Уравнения (3.30) показывают, что электростатическое поле потенциально; магнитное поле, создаваемое токами (движущимися зарядами), не потенциальное, вихревое.

Сравним еще раз также формулы для электрического и магнитного диполей и полей на их оси:

                  (3.31)

Видно, что магнитные и электрические диполи ведут себя одинаково. Почему? Потому что при  и , то есть вдали от зарядов и токов, уравнения Максвелла одинаковы (правые части  и  обоих векторов равны нулю). Но физически источники этих полей различны: циркулирующий ток, пара зарядов.

Примеры.

1.    По проводу круглого сечения радиуса  течет ток плотности . Найти .

Используем теорему о циркуляции вектора  (3.26):

Выберем контур  так, чтобы он проходил по силовой линии магнитного поля (в данной задаче – это окружность). Рассмотрим два случая.

1.    Радиус контура . Ток внутри контура . Тогда:

.                            (3.32 а)

В векторной форме:

.

2.    Радиус контура . Так как ток течет лишь по сечению провода, то .

В векторной форме:

.                   (3.32 б)

График зависимости  приведен на рис.3.13.

2. Найти индукцию магнитного поля тороида ( и  - радиусы).

Силовые линии – окружности, центр которых в центре тора. Ясно, что там, где нет витков, то есть при , . При  

.                                   (3.33)

При :        , так как ток пересекает площадь контура дважды в различных направлениях.