Вектор плотности тока. Закон Ома.

          Движение заряженных частиц в проводниках под действием приложенного электрического поля назвали электрическим током.

          Подвижными заряженными частицами в металлах являются электроны. Носители тока в полупроводниках - также электроны; в электролитах – ионы, в плазме – ионы и электроны.

          Основной характеристикой тока является плотность тока :

,                                        (5.1)

где  - средняя скорость электрона. Видно, что вектор  направлен вдоль скорости движения положительных зарядов.

          Через площадку  за единицу времени протекает количество электронов (количество электричества):

.                                        (5.2)

Тогда - сила тока, проходящего через площадку . Единицей измерения плотности тока  является , силы тока - А (ампер).

          Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность  (рис.5.1) и найдем поток вектора  сквозь эту поверхность:

,                  (5.3)

   где  - изменение заряда в единицу времени.

.

Знак “-” показывает, что если число положительных зарядов в объеме уменьшается, то поток  направлен из объема  наружу.

;

.                                     (5.4)

Уравнение (5.4) представляет собой уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения заряда в объеме.

          Сравним его с теоремой Гаусса в дифференциальной форме:

;

Смысл уравнения в том, что источниками  являются заряды . Значит, из уравнения непрерывности следует, что источником тока является временное изменение заряда, токовые силовые линии начинаются там, где .

          Для постоянного тока , , то есть , : токовые линии всегда замкнуты для постоянного тока.

          Выясним условия, при которых может существовать постоянный ток. Для этого нужны сторонние источники, создающие направленное движение зарядов (). Связь  с  (напряженность стороннего поля) предполагается линейной:

                          -                  (5.5)

Здесь - коэффициент электропроводности; . Эта формула верна в точке проводника, где  и  постоянны, то есть имеет локальный характер, и носит название закона Ома в дифференциальной форме. Открыт Омом в 1827г. Кавендиш установил экспериментально пропорциональность тока и напряжения еще в 1770 г., но никому об этом не сообщил.

Исследуем выражение (5.5) и найдем следствия из него. С учетом (5.1) имеем:

.

Оценим величину .

Для Cu: , и если  ; то .

Скорость теплового движения при : ; тогда        . Так как , то , т.е. движение электронов является равномерным, а должно быть равноускоренным, потому что происходит под действием силы. Чтобы объяснить это противоречие, запишем уравнение движения электронов:

,                                      (5.6)

где второе слагаемое учитывает столкновение электронов с решеткой в виде “эффективной силы трения“. Решение уравнения (5.6) имеет вид:

;

 найдем подстановкой решения в уравнение;  - из начальных условий: , :

,      .

Таким образом:            ,                                        (5.7)

где параметр  называется временем релаксации.

При  скорость электронов становится постоянной:

.

Тогда:

.              -                  (5.8)

Эта зависимость электропроводности от плотности электронов называется формулой Друде.

  Оценим время релаксации.

Для :

Ясно, что установление постоянного значения  после включения  происходит очень быстро.

          Куда уходит энергия, получаемая электронами в процессе разгона? На преодоление сил ”трения”, то есть на столкновения электронов с решеткой, что приводит к ее нагреванию. При движении заряда совершается работа . В единице объема выделится энергия:

                       (5.9)

Значит, за единицу времени в единице объема выделится энергия:

.                                           (5.10)

Данная величина носит название тепловой мощности. Иначе:

.                                   (5.11)

Закон Джоуля (1841г.), Ленца (1842 г.) в дифференциальной форме, записанный выше, верен в локальной точке проводника.

          Интегральный вид этого закона можно вывести, зная количество тепла, выделившегося в проводнике объема  за время . Введем величину удельного сопротивления:

          .                                     (5.12)

Тогда, используя (5.9), запишем:

.                 (5.13)

Для линейного проводника , где  - площадь сечения,  - элемент длины, . С учетом этого выражение (5.13) примет следующий вид:

;

;

,                                       (5.14)

где величина  характеризует сопротивление проводника. Подставляя выражение (5.14) в (5.11), получаем окончательно выражение для тепловой мощности:

.                                           (5.11’)

Единицей измерения мощности является ватт .

В основе всех приведенных выше формул лежит закон Ома. Область применимости этого закона связана с линейной зависимостью, т.е.  должно быть достаточно малым, чтобы ограничиться первым членом ряда:

.

Здесь единственная величина, которая может быть ограничена, это : .

              -

тепловая скорость электронов. Тогда .

Только начиная с таких полей могут проявляться нелинейные эффекты в законе Ома при прохождении тока в металлах. Технически допустимые значения  можно определить по максимальному значению допустимой плотности тока в металлических проводах. Так, для меди :

;                           (5.15)

.                  (5.16)

Таким образом, технически используемые величины  в  раз меньше тех, которые ограничивают область применения в законе Ома.

          В плазме закон Ома не соблюдается, так как при низких давлениях величина  велика  (почти нет столкновений): { при гораздо большем токе, чем в металлах}.