Переходные процессы в электрических цепях.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи при включении (выключении) постоянной ЭДС.

1. -цепь с (рис.6.2).

а) Включение ЭДС: .

Закон Ома в цепи:

(6.11)

при включении тока (это учтено знаком для ). Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, решаемым следующим образом. Приведем (6.11) к виду:

(6.12)

Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:

Решение дифференциального уравнения (6.12) примет вид:

, (6.13)

где - константы, определяемые подстановкой решения (6.13) в (6.12) и начальным условием: :

Отсюда: . В момент включения ток отсутствует , тогда из (6.13) следует, что: . Таким образом, с учетом , окончательно решение уравнения (6.11) имеет вид:

. (6.14)

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Графическая временная зависимость тока представлена на рис.6.3. Значение тока соответствует закону Ома для постоянного тока и называется установив-шимся. Величина падения напряжения на катушке индуктивности как функция времени выражается экспоненци-альной зависимостью:

, (6.15)

приведенной на рис.6.4.

Следующее отношение имеет смысл времени релаксации:

. (6.16)

Из (6.14) ясно, что при ток достигает установившегося значения, при этом напряжение на индуктивности .

б) Процесс выключения ЭДС будет описываться аналогично, но знак будет противоположным по действию: она будет поддерживать ток в цепи. Закон Ома в цепи дает уравнение:

. (6.17)

В начальный момент времени ток , а равен установившемуся значению . Тогда решение (6.13) имеет вид:

, (6.18)

и при . Напряжение на катушке индуктивности, по-прежнему, определяется как и равно:

. (6.19).

Графические зависимости (6.18) и (6.19) приведены на рис.6.5 и 6.6, соответственно.

Видно, что при выключении внешней ЭДС ток в цепи становится равным нулю не мгновенно, а лишь тогда, когда станет равным нулю (т.е. )

2. - цепи с (рис.6.7). .

а) Зарядка конденсатора (включение ключа К).

Закон Ома в цепи:

. (6.20)

Продифференцируем по времени это выражение:

. (6.21)

Решение ищем в виде . Для , . . Таким образом:

. (6.22)

Данная графическая зависимость представлена на рис.6.5. После того, как конденсатор зарядится до , ток исчезнет (при ). Следует заметить, что в отличие от тока, заряд на конденсаторе в начальный момент времени равен нулю (отсутствует); он накапливается по мере убывания силы тока и зарядки конденсатора: при , и из (6.20) . Закон изменения напряжения на конденсаторе имеет вид, приведенный на рис.6.8, соответствующий аналитической зависимости, полученной при интегрировании (6.22):

б) Короткое замыкание в - цепи.

При отключении ЭДС из цепи, т.е. закорачивании ее и сохранении цепи замкнутой, по цепи пойдет ток с начальным значением , который по направлению противоположен предыдущему. Будет наблюдаться разрядка конденсатора. Закон уменьшения тока в данном случае совпадает с (6.22) и рис.6.5, а падение напряжения на конденсаторе происходит так же, как на катушке индуктивности при отключении постоянной ЭДС (рис.6.6).

3. - цепь с (рис.6.9). .

Закон Ома в цепи:

. (6.23)

Подставим в (6.23): и запишем его для переменной :

. (6.24)

Продифференцировав по времени выражение (6.24), получим:

(6.25)

или в приведенном виде:

, (6.26)

где ; . Характеристическое уравнение:

Корнями этого уравнения являются:

, где . (6.27)

Для однородного дифференциального уравнения решение запишется в виде:

. (6.28)

Из начального условия получаем:. Окончательно, с учетом формул Эйлера

получим:

. (6.29)

Зависимость (6.29) представлена на рис.6.10. Для

Видно, что - затухающая функция. Амплитуда колебаний изменяется по закону: . Период затухания колебаний:

. (6.30)

Найдем по формуле: :

Введем обозначения: ; .

Для . Обычно , тогда .

Используя формулы приведения, получим выражение для в форме:

Амплитуду найдем из начального условия: . Отсюда: . Таким образом, окончательное выражение для примет вид:

. (6.31)

Используем метод векторных диаграмм, чтобы проиллюстрировать полученный результат. Гармонически изменяющаяся величина может быть представлена вектором, длина которого равна амплитуде, а угол между вектором и выбранной осью – фазе. Из диаграммы рис.6.11 видно, что опережает ток на угол .

В случае отсутствия сопротивления в цепи (нет затухания колебаний).

Найдем по формуле: . Тогда:

(6.32)

При выводе была использована формула:

Для нахождения постоянной используем граничные условия: (конденсатор разряжен):

Таким образом, напряжение на конденсаторе в любой произвольный момент времени определяется как:

. (6.33)

Ясно, что величина колеблется вокруг значения . При : конденсатор заряжается до и ток в цепи прекращается:

При этом величина напряжения на катушке индуктивности также стремится к нулю:

Графики зависимости для случая () приведены на рис.6.12. Легко проверить, что в любой момент времени выполняется: . Максимально возможное значение напряжения на конденсаторе . Если . Это необходимо учитывать при подборе конденсатора, чтобы не возникло пробоя.

При увеличении характер колебаний тока и напряжения в цепи изменяется. При , и колебания становятся апериодическими. При этом омическое сопротивление в цепи называется критическим: