Принцип Ферма

         Распространение света из одной точки А в другую точку В проходит таким образом, чтобы вариация времени dt была равна нулю. Если среда оптически неоднородна, весь путь разбивают на элементарные dli участки и тогда

, а , а                              (1)

         Учитывая принцип Ферма запишем

                                          (2)

Это и есть математическое выражение принципа Ферма. Ввиду того, что минимальное расстояние между двумя точками есть прямая линия, скрепляющая эти точки, прямолинейное распространение света в однородной среде является прямым следствием принципа Ферма. На основе принципа Ферма выводятся законы отражения и преломления света.

         Пусть из т. А луч света падает на зеркальную поверхность и, отражаясь, попадает в т. В (рис. 1). Он может идти или по пути АОВ или АО1В. Исходя из принципа Ферма, найдем вариацию времени и приравняем нулю. Спроецируем т. А и В получим А1 и В1. А1О обозначим через х, а А1В1=а=const.

AA1=h1;     BB1=h2                                             (3)

Время прохождения света из т.А в т.В

                                      (4)

Видим, что время t зависит от х, т.е. от положения т.О. Согласно принципу Ферма имеем

                           (5)

Отсюда

sinα+sinα1=0 и α=-α1                                         (6)                                       

Знак минус показывает, что углы a и a1 расположены по разные стороны нормали. Таким образом, минимальным является путь при котором a=-a1. Аналогичным образом выводится и закон преломления.