Фазовая и групповая скорости света

Измерения скорости света Майкельсоном методом вращающегося зеркала в сероуглероде дали для отношения . Однако это же отношение, определенное по показателю преломления оказалось n=1,64. Объяснение этого различия дал Рэлей, предложивший ввести понятие двух скоростей света: фазовой и групповой.

Если записать световую волну в виде Е=Е0sin(ωt-кх), то фазовую скорость найдем из условия постоянства фазы ωt-кх=const. Продифференцировав, найдем ωdt-кdх=0 или. Учитывая  и  получим , т.е. скорость фазы.

Естественный свет представляет собой сложный пакет цугов волн. В вакууме скорости для всех волн одинаковы и этот пакет имеет такую же скорость. В среде, обладающей дисперсией, световые волны распространяются с различными фазовыми скоростями, для каждой волны – своя. Пакет деформируется, и, если мы следим за максимумом амплитуды, то его скорость уже не будет совпадать с фазовыми скоростями волн, образующих этот пакет. Для простоты рассмотрения будем представлять пакет, состоящий из двух близких по частоте синусоид одинаковой амплитуды (рис. 2). 

Наложение таких близких синусоид дает импульс, форма которого представляет биение близких по частоте колебаний.

Запишем эти волны Е1=Е0sin(ω1t-к1х) и Е2=Е0sin(ω2t-к2х). Считаем, что

ω1=ω0+δω и ω2=ω0-δω                                      (10)

  к1=к0+δк и к2=к0-δк

Запишем суммарный импульс

Е=Е1+Е2=Е0sin(ω1t-к1х)+Е0sin(ω2t-к2х)=

==

=2Е0cos(tδω-хδк)sin(ω0t-к0х).

Выражение 2Е0cos(tδω-хδк)=А является амплитудой импульса. Тогда импульс запишется в виде Е=А sin(ω0t-к0х). Здесь А не является постоянной, а меняется во времени и в пространстве однако меняется медленно, т.к. dω и dк малы по сравнению c ω0 и к0. Выбираем А – максимальную и определим ее скорость, которая называется групповой. Это скорость переноса энергии. Запишем условие постоянства амплитуды t·δω-xδк=const. Дифференцируя, находим

δωd t-δxdx=0 или                                    (11)

Найдем связь между скоростями u и υ. . Учитывая,; ;  тогда

 – формула Рэлея                        (12)

Если  (нормальная дисперсия), то u<υ, если  (аномальная дисперсия), то u>υ. При отсутствии дисперсии , u=υ.