Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» - Оптика. Элементы квантовой механики. Лекции.

Нужна помощь в написании работы?

         Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида

        

При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. y(0)= y(l)=0.                                                                   (27)

         В пределах ямы (0<x<l)  уравнение (22) сведется к уравнению  

                                         или   ,                   (28)

где    k2=.  Общее решение (28) y(х)=Аsinkx+Bcoskx.                       (29)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

         Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В=0, тогда    y(х)=Аsinkx .                (30)

         Условие (27) y(l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=pn, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы                  k=pn/l.                                             (31)

         Из (29) и (31) следует, что                              (32)

         Таким образом, энергия в «потенциальной яме» принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е1¹0.  

         Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции

                                                        .                                                                                 

         Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид

                                                        .                                   

         В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

            (33)

Графики этих функций, соответствующие уровням энергии при n=1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) изображены плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы

 

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находится в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

Поделись с друзьями