Проблематика философии математики была порождена философией, исследующей абстрактные и идеальные объекты, систему доказательств. Как частный случай, для этого использовались математические объекты (Пифагор), математическое доказательство (элеаты, доказательство от противного, доказательство по интуиции и т.д.).
С.Я. Яновская («Практика и познание») указывает на специфику математического рассуждения: «Математик обязан точно указывать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не вытекающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать, что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кеглей руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарам, т.е. строго соблюдали все правила игры».
Иными словами, математик должен ограничиваться формулировкой исходных положений и не требовать подтверждения их действительностью. Именно этот аксиоматический метод и отличает математику от других наук, использующих гипотетико-дедуктивный метод, который требовал обязательной проверки теоретических выводов экспериментом.
Все формальные свойства объектов и отношений, необходимые для математической теории, формулируются в виде аксиом, которые не затрагивают конкретных свойств объектов и отношений. Теория может быть применена к любой системе объектов, которые удовлетворяют условиям, сформулированным в аксиомах.
В.Н. Молодший различает три периода в становлении аксиоматического метода:
1. период содержательной аксиоматизации (до середины 19 века),
2. период полуформальной аксиоматизации (последняя четверть 19 века),
3. период формальной аксиоматизации (1904 – Д. Гильберт выдвигает основные принципы формализации математики).
В содержательной аксиоматике аксиомы описывают свойства, отношения и связи объектов из одной области объектов. Последние получают непосредственное определение из аксиом теории, для доказательства используется, как правило, формальная логика. Примером содержательной аксиоматики могут быть «Начала» Евклида, фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты представляют собой требования возможности осуществления построений с идеальными геометрическими объектами: «Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую и т.д.».
Аксиомы содержат описания любых величин:
«1. равные одному и тому же равны и между собой и т.д.».
Содержательная аксиоматика геометрической аксиоматики была поставлена под сомнение в первой половине 19 века в связи с созданием неевклидовых геометрий (Лобачевский). Аксиомы оказались не «вечными» истинами, агипотезами, которые необходимо проверять эмпирическим путём или сведением её к ранее установленным истинам.
Аксиомы и теоремы полуформальной аксиоматики справедливы для различных множеств объектов с одинаковой структурой отношений и связей. Каждая такая область называется моделью или интерпретацией аксиоматизированной теории.
Во второй половине 19 века стало ясно, что математическая теория допускает различные интерпретации. Возникла необходимость создания общей теории, выводы которой были бы верны для объектов при любой интерпретации теории.
Формирование аксиоматического метода как самостоятельной теории связано с именем Д. Гильберта – автора «Оснований геометрии», где метод был детально разработан.
Формальные аксиоматики разработаны, в основном, для теорий, относящихся к фундаментальным основаниям теоретической математики. Они вытекают из полуформальных аксиоматик путем формализации традиционной логики.
Теоретико-множественная концепция позволила систематизировать возможные математические теории их интерпретации. Так, алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых к конечному числу объектов и производящих из них новый объект системы. Этим алгебра отличается от анализа и геометрии, которые предполагают бесконечное число объектов.
Переосмысление отделов математики при помощи полуформальной аксиоматики позволило устранить неясности в определениях. Они были связаны с тем, что понятию бесконечного множества была придана общность, лишняя для каких- то приложений, однако теория бесконечных множеств нуждается и логическом обосновании, которого пока не имеет.
В 20 веке в теории бесконечных множеств были выявлены парадоксы, поставившие под сомнение возможность её непротиворечивого обоснования. Известен парадокс Рассела. Итак, М – это совокупность всех нормальных множеств, то есть не включает себя в качестве собственного элемента. Допустим, что М само нормальное множество, но тогда оно не содержит самого себя в качестве элемента и потому не может быть нормальным. Если предположить, что М ненормальное множество, то оно должно входить в М, то есть быть нормальным множеством.
С точки зрения прагматики, этот парадокс не представляет никакой опасности, но с философской точки зрения он её представляет, так как доказательства от противного в математики исходят из предположения, что математика непротиворечива. Выявление парадоксов в теории множеств, ставшей фундаментом математического знания, противоречий в простых с логической точки зрения теоретико –множественных рассуждениях было воспринято болезненно. Устранение парадоксов из математики стало важной задачей, попытки их разрешения ознаменовали рождение философии математики.
В сейчас философии математики выделяются фундаменталистское и нефундаменталистское направления.
Первое занимается проблемами сущности математики в независимости от её исторического состояния, поиском единой сущности и неизменных стандартов математического доказательства.
Для второго направление характерно исследование:
1. исторического развития математики,
2. функционирования математики.
3. места и значения математики в культуре, её отношения с другими науками.
Одной из первых работ этого направления были статьи И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», где на примере теоремы Эйлера попытался показать общую схему развития математики. Р. Уальдер («Математика как культурная система») рассматривает её как явление культуры в целом. Ф. Китчер («Природа математического знания») пытается представить математику как деятельность научного сообщества математиков.
В нефундаменталистском направлении выделяют три ветви:
1. историческая ветвь (восходящая к концепции научных революций Т. Куна): где рассматривается идея исторической смены устаревших математических теорий на новые («Революция в математике»).
2. ветвь социальной детерминации: математика ставится в зависимость от социальных отношений, национальных особенностей и т.д. («китайская», «арийская», «европейская» математики и т.д. Рестиво «Философские и социальные исследования математики и математического образования»).
3. ветвь культурной детерминации, которая подразделяется на когнитивно – культурную детерминацию, где математические структуры объясняются через познавательные установки конкретной исторической эпохи, и деятельностно – культурной детерминацию, облик математики определяется культурными особенностями.
Из частного раздела философия математики постепенно стала автономной областью исследования, философские вопросы о природе субъективного и объективного и т.д. стали внутренними вопросами философии математики.
Назовем некоторые прикладные проблемы, значимые для математики:
1. парадоксы теории множеств,
2. возможна ли модернизации исторического источника (можно ли использовать современную математическую символику для изучения, например, «Начал» Евклида и подобных работ).
3. Соотношение внутренних и внешних (культурных) влияний на развитие математики.
4. как развивалась математика как социальный институт?
5. Существуют ли в математики революции? И т.д.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему