Проблема обоснования математики

         В XX веке были сформулированы три программы обоснования математики: логизм, интуиционизм, формализм.

         Программа логизма была предложена немецким математиком и философом Г. Фреге. Сущность этой программы заключается  в том, что понятия математики необходимо свести к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве логических истин. Логика базируется на предельно простой и ясной системе понятий, поэтому, по Г. Фреге, у нас есть основания  предполагать абсолютную непротиворечивость. Редуцируя математическую теорию к логике, мы, тем самым, можем предполагать, что и математическая теория является непротиворечивой.

А. Уайтхед и Б. Рассел в работе «Принципы математики» предприняли попытку анализа основных математических теорий, чтобы редуцировать их к логике. Вывод книги заключался в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такая редукция может быть осуществлена для всех основных математических теорий.

Однако К. Гедель в статье «О неразрешимых предложениях «Принципов Математики» и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Из этого следует, что логические исчисления, используемые А. Уайтхедом и Б. Расселом, поскольку они удовлетворяют требованию семантической полноты, в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий, не обладающих свойством полноты.

Сейчас признано, что исследования К. Геделя показали бесперспективность логизма как программы обоснования математики.

Родоначальником интуиционизма является Л. Брауэр. Интуиционизм ставит перед собой задачу редуцировать математику к исходным положениям арифметики, рассматривая последние в качестве далее неразложимых интуиций сознания. Все допустимые математические объекты, по Л. Бауэру, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такого рода математика становится свободной от любого рода противоречий.

С этой же целью. Л. Бауэр ограничивает логику математического рассуждения, исключив из неё закон исключённого третьего ит.п. В качестве безусловно твёрдого принимается только конструктивное рассуждение, которое связывает любое утвердительное суждение об объекте с с его предъявлением в качестве конструкции. С этой же целью Л. Бауэр исключает из математики понятие актуальной бесконечности как противоречивое по своей сущности.

Однако свести все области математики к арифметике Л. Бауэру не удалось. Он сам вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению. Последователи Л. Бауэра создали интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, но их работы, интересные и плодотворные с точки зрения математики, не решали проблемы обоснования самой математики, которая является наиболее значимой для её приложений. Таким образом, интуиционистская программа оказалась несостоятельной вследствие своей узости.

Наиболее обоснованной теоретически стала формалистская теория, предложенная Д. Гильбертом. Д. Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Б. Расселом, не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, но эти аксиомы могут быть приняты только как некоторого рода гипотезы. Вместе с тем он был согласен с Б. Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута только через уточнение её языка и через прояснение логической структуры теории. У логистов Д. Гильбертом было взято понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории.

Отрицая интуиционизм как способ обоснования математики, Д. Гильберт соглашался с Л Бауэром в том, что закон исключённого третьего неприменим к математическим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Л. Бауэр, Д. Гильберт считал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена и вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключённого третьего, не может быть применима к нему в качестве безусловной истины.

Исходя из этого положения, Д. Гильберт сформулировал принцип финизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть надёжным только через конечное.

Процедура обоснования математики, согласованная с этими общими установками, предполагает полную формализацию теории, заключающуюся в представлении её аксиом в виде не имеющих содержания символов. Математическая теория превращается тем самым в объект, подчинённый чисто внешним, формальным манипуляциям, основанным исключительно на структуре её формул. В плане классификации очевидностей можно сказать, что формализация представляет собой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности.

Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования, допустимые для действия в рамках формализованной теории. Метатеория, по Д. Гильберту, должна быть безусловно истинной и достаточной для строгого обоснования непротиворечивости формализма, которое должно состоять в доказательстве того факта, что в его рамках в соответствии с правилами логики и правилами введения производных объектов не может быть получено выражение, имеющее вид «0=1».

Целью формалистского анализа, как любого другого рассуждения, являются реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости её формализованного аналога. Формалистское обоснование покоится на допущении, что непротиворечивость формализма, будучи доказанной, гарантирует надёжную содержательной теории.

Успех формалистского обоснования обеспечивается, таким образом, благодаря надёжности метатеоретического доказательства. Д. Гильберт формулирует ряд требований к метатеории. Метатеория должна быть:

1.                 синтаксической в том смысле, что она имеет дело только со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре. Строгое метатеоретическое обоснование непротиворечивости теории – это обоснование, апеллирующее только к синтаксису теории и не использующее никаких допущений о содержании её понятий и принципов;

2.                 содержательной, она относится к конкретному формализму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;

3.                 финитной, она не имеет дела с операциями с бесконечными множествами и с математическими принципами, связанными с допущениями актуальной бесконечности;

4.                 конструктивной, всякое утверждение о существовании объекта в её рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.

Методологический замысел Д. Гильберта состоит в том, чтобы ограничить метатеоретическое таким образом, чтобы оно гарантировало его абсолютную достоверность. Метатеория должна быть способна доказывать непротиворечивость формализованных теорий и, следовательно, непротиворечивость соответствующих им содержательных теорий, независимо от их содержания.

Д. Гильберт считал, что метатеория должна включать в себя только математически определённые понятия. Речь идёт о требовании, которое получило в дальнейшем название принципа отделения оснований от философии. Это положение означает, что выделение принципов метатеории должно совершаться только на основе математических критериев. Принимая факт априорности элементарной математики, Д. Гильберт отождествил априорность с финитностью и сформулировал требование финитности в качестве основного критерия для метатеории. Причина этой замены очевидна: требование финитности является математическим и представляется более определённым, чем философское понятие априорности. Д. Гильберт не допускает в рамках метатеории принципов и терминов философского характера, не имеющих адекватного математического представления.

Программа Д. Гильберта также была поставлена под сомнение теоремой Геделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теорема неполна и непротиворечива, то доказательство её непротиворечивости не может быть получена средствами, формализованными в этой теории. Иными словами, невозможно доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Это противоречит замыслу Д. Гильберта обосновать математические теории только средствами метатеории.

Провал программ обоснования математики привёл к скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные философы и математики считают, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования. В этом случае математика, как и другие науки, обосновывается в конечном счёте только на опыте и не имеет никаких других оснований для утверждения своей надежности.

Существуют однако и другие, более оптимистичные концепции обоснования, предполагающие возможность новых подходов к обоснованию непротиворечивости математических теорий, которые не связаны с трудностями классических программ.

Один из таких подходов состоит в реабилитации логических средств, запрещённых в рассмотренных программах обоснования математики. В программе Д. Гильберта все построено на дедуктивных возможностях метатеории, ограниченной определённой системой требований. Современные исследователи приходят к выводу, что эти требования могут быть смягчены без ущерба для строгости метатеории. Так исследования А.Н. Колмогорова показали, что теории, использующие закон исключённого третьего, могут быть переведены в систему рассуждений, которые не опираются на этот закон. На это же указывает и теория Геделя. С этих точек зрения представляется правомерным вывод о полной надёжности классической логики. Если критика закона исключённого третьего неправомерна, то возможно отказаться требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оправданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа, и существенной части теории множеств.

Кроме того, анализ логики математического мышления позволяет утверждать, что семантические средства могут быть призваны в качестве законного элемента обосновательных рассуждений, хотя они не включены Д. Гильбертом в метатеорию. Философский и методологический анализ математического рассуждения позволяет обосновать надежность семантических средств, это даёт возможность считать, что доказательства непротиворечивости, опирающиеся на семантику, могут быть признаны законными.

Неоправданным представляется и требование Д. Гильберта о исключении из метатеории определений, не относящихся к математике. Метатеоретическое рассуждение может прибегать к аподиктически очевидным представлениям, не имеющим строгого математического определения и т.д.

Итак, можно сделать вывод, что проблема обоснования математики пока не решена ни позитивно, ни негативно.